Фон Нейман против Дирака: математическая схема квантовой механики

На этом, в целом научно-популярном сайте встречаются статьи, которые у читателя без физ-мат образования могут вызвать затруднения (например http://extremal-mechanics.org/archives/2112 ). С данной публикацией дело обстоит еще хуже — она предполагает знакомство с квантовой механикой на уровне университетского курса (которое, впрочем, обычно является весьма поверхностным). Популярные сведения о ней, сводящиеся к формуле Планка и представлению об уровнях энергии атома, а также «квантовых скачках», для понимания этой статьи недостаточны. С другой стороны она поможет тем читателям, которые хотят разобраться в квантовой механике и готовы потратить на это время. Стоит предупредить их о том, что математическая изощренность данной науки (далее КМ) превосходит все остальные разделы физики, включая общую теорию относительности.

Последнее обстоятельство прямо связано с тем, что привычные для физиков изложения КМ, оперирующие дельта-функцией Дирака , кажутся выпускникам мех-матов возмутительно нестрогими. В самом деле, утверждения вроде того, что скалярное (точней эрмитово) произведение векторов состояния и

где при всех , но ( ! ), способны вызвать когнитивный диссонанс у правоверных математиков . Хотя теория обобщенных функций нашла место для «несобственной» дельта-функции Дирака, равенство (1) как бы числа и сингулярной обобщенной функции все же нуждается в формальных пояснениях.

Сразу после выхода в свет исходной версии книги [1] в 1930 , которая подвела итог созданию КМ, такие пояснения были невозможны — теория обобщенных функций возникла лишь в 60-х. Поэтому блестящий математик Джон фон Нейман решительно взялся за «очищение» КМ от дельта-функции , выпустив в 1932 книгу [3]. Cегодня она считается каноническим и абсолютно строгим изложением КМ. Из предисловия:

«Книга Неймана является первым и до сих пор единственным доведенным до конца опытом изложения аппарата квантовой механики (на момент издания) с той последовательностью и строгостью, которой требуют обычно при построении математической теории. Поэтому только cуществованию этой книги мы обязаны нашей уверенностью в том, что квантовая механика представляет собой логически непротиворечивую схему.»

Фон Нейман «погрузил» КМ в функциональный анализ, приняв активное участие в его создании. Получилась математически безупречная, но технически громоздкая теория, которая далека от смелых и красивых рассуждений Дирака и Гейзенберга. Обычно рядом с ними вспоминают Йордана. Нильс Бор, конечно, был основоположником этой т.н. копенгагенской КМ. Вкратце теория фон Неймана состоит в следующем.

Вместилищем волновых функций считается гильбертово пространство функций с интегрируемым по Лебегу на квадратом модуля. Здесь и — число пространственных степеней свободы данной квантовой системы. Любые две функции из , отличающиеся лишь на множестве меры ноль, считаются равными элементами пространства . Эрмитово произведение .

Каждой физической величине данной квантовой системы соответствует эрмитов оператор (также обозначаемый ), заданный на некотором всюду плотном в подмножестве . Оператор должен быть замкнутым, что означает следующее: для любого и любой последовательности , сходящейся к , существование предела влечет . Непрерывный оператор является замкнутым в том и только том случае, когда . Также предполагается, что область определения не может быть расширена с сохранением свойств эрмитовости и замкнутости оператора. Такой оператор называется максимальным [3].

Примерами максимальных (эрмитовых и замкнутых), но не непрерывных операторов являются операторы координат и импульсов (где ), действующие обычным образом

на те функции , которые после операций (2) остаются в (для применимости функция должна быть почти всюду дифференцируемой по ). При этом области определения данных операторов, изначально не замкнутых, стандартным образом расширяются до таких, на которых они становятся замкнутыми и максимальными (подробности в [3]).

Двинемся дальше за фон Нейманом в заросли функционального анализа. Проектором называется такой непрерывный эрмитов оператор , что . Фактически это — оператор ортогональной проекции на некоторое замкнутое подпространство ( означает образ оператора). Разбиением единицы, принадлежащим эрмитову оператору , называется отображение числовой оси в множество проекторов. Для каждого соответствующий проектор обозначается .

При этом для всех должно быть . В этом случае оператор является проектором на ортогональное дополнение до . Требуется, чтобы и (тождественный оператор), а также (непрерывность справа) . Еще одно условие заключается в том, что для любых имеет место:

где интеграл считается по Стилтьесу и — комплекснозначная функция от , определяемая параметрами . Выражение (3) называется спектральным разложением (эрмитова) оператора .

Известно, что для каждого непрерывного эрмитова оператора cуществует единственное разложение единицы c вышеуказаными свойствами. В этом заключается спектральная теорема, впервые доказанная Гильбертом. Что касается замкнутых эрмитовых операторов , не являющихся непрерывными и, таким образом, определенных на всюду плотных подмножествах , то о них известно лишь одно. Если такой оператор является максимальным (см. выше), то принадлежащее ему разбиение единицы не существует или существует и тогда оно единственно [3].

Единственность имеет принципиальное значение для того, чтобы спектральное разложение (3) имело физический смысл. Но вопрос о его существовании является, вообще говоря, открытым. Впрочем, для важнейших максимальных операторов и , не являющихся непрерывными, разложения единицы построены явным образом [3]. Максимальные операторы, для которых разбиение единицы существует фон Нейман назвал гипермаксимальными.

Ключевая гипотеза, связывающая весь этот функан с физикой, теперь выглядит так. Каждой физической величине данной квантовой системы соответствует гипермаксимальный эрмитов оператор , заданный на некотором всюду плотном в подмножестве . Спектральное разложение (3) является основой для всех вычислений, связанных с величиной . Прежде всего определим ее возможные значения.

Спектром гипермаксимального оператора со спектральным разложением (3) называется множество тех точек , ни в какой окрестности которых оператор-функция не является постоянной. Таким образом спектр — замкнутое множество и каждый интеграл (3) вычисляется de’facto не по всей числовой оси, а только по спектру . Гипотеза о соответствии оператора физической величине уточняется утверждением о том, что ее всевозможные значения составляют спектр [3].

При этом собственные значения оператора определяются, как обычно — через равенство при . Собственными значениями являются те и только те точки , в которых оператор-функция имеет разрыв. Последнее означает, что . Тогда все собственные векторы со значением составляют замкнутое подпространство в , которое является ортогональным дополнением подпространства до . Множество собственных значений может быть пустым (например, у операторов координат и импульсов), конечным или счетным. Других вариантов нет.

Для физической интерпретации своей теории фон Нейман ввел еще 2 постулата. Первый состоит в том, что любой вещественной функции от физической величины соответствует гипермаксимальный оператор . Тогда из (3) следует, что для любых имеет место:

Второй постулат утверждает, что мат. ожидание величины в произвольном состоянии равно (в силу эрмитовости это число вещественно). Точно такая аксиома есть в [1] и [2], но Дирак обозначает как . Из этих двух предположений фон Нейман выводит принципиально важное утверждение.

Пусть дан набор физических величин с коммутирующими между собой операторами . Обозначим разбиение единицы, принадлежащее . Пусть для всех и есть вероятность того, что в состоянии данной квантовой системы с волновой функцией каждая величина принимает значение из полуинтервала . Тогда

где (попарно коммутирующие проекторы). Отсюда, в частности, следует интерпретация Борна волновой функции , согласно которой есть плотность распределения случайных величин (пространственных координат в данной системе).

Возможен случай, когда спектр состоит только из собственных значений. Тогда он не более, чем счетный. Примером служит оператор энергии (гамильтониан). В таком случае из (3) следует, что любой вектор разлагается по собственным векторам: , где . Данный факт имеет фундаментальное значение в КМ, но для его доказательства не нужно разбиение единицы . Описанные выше, математические ухищрения понадобились фон Нейману для того, чтобы строго описать случай континуального спектра, во исполнение чего изгнать из КМ дельта-функцию вместе со следующим утверждением Д ирака (которое с ней неразрывно связано).

Если множество собственных значений эрмитова оператора непрерывно, то всякий вектор состояния выражается в виде интеграла по спектру: , где . С пектром оператора в книге [1] называется множество его собственных значений (вне всякой связи с разложением единицы).

Если убрать бра-кет обозначения Дирака и применить данное утверждение к функциям из гильбертова пространства , то оно станет ложным. Но в качестве пространства состояний квантовой системы Дирак, в действительности, рассматривал множество обобщенных функций на , которое содержит в качестве подпространства. А в разложение в интеграл от собственных векторов по непрерывному спектру из собственных значений в смысле Дирака может иметь место. Более того — в пространстве обобщенных функций не существует проблемы определенности эрмитовых операторов не всюду, которой фон Нейман посвятил много усилий. Подробности будут описаны в дальнейшем.

Таким образом, фон Нейман изгонял из КМ дельта-функцию напрасно. Возможно, хотя я не вполне в этом уверен, что основанная на спектральной теореме КМ не потеряла ничего по существу. Но она стала технически очень громоздкой! Чтобы почувствовать разницу достаточно сравнить изящные рассуждения Дирака в [1], связанные с излучением, поглощением и рассеиванием фотонов, с тем, как теория излучения излагается в [3]. Нет никаких сомнений в том, что на пути, который фон Нейман избрал для наведения математического порядка в квантовой механике, она бы не была открыта никогда. При этом порядок присутствовал в ней изначально. Просто гениальный Дирак намного опередил развитие математики , введя в обращение «несобственную» функцию [1].

Для понимания дальнейшего материала весьма желательно владеть понятием обобщенной функции на уровне книги [4]. Для этого достаточно прочитать в ней параграфы 5 — 9. Будет показано, что КМ может быть вполне строго изложена на исходном языке Дирака, в силу чего она не нуждается в теории фон Неймана. Весь остальной материал изложен в тексте http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2017/10/QM.pdf

1. П.А.М. Дирак, Принципы квантовой механики, 1960, М.: Физматгиз.

2. В. Гейзенберг, Физические принципы квантовой теории, 1932, М.: ГТТИ.

3. Дж. фон Нейман, Математические основы квантовой механики, М.: Наука, 1964.

4. В.С. Владимиров, Уравнения математической физики, М.:Наука, 1988.