Основные формулы. Примеры решения задач. Механические и электромагнитные колебания. Электромагнетизм

Для свободного падения без начальной скорости, V0=0, a=g.

б) вращательное движение

Угловая скорость и угловое ускорение материальной точки:

, где φ – угол поворота радиуса-вектора точки.

Для равномерного вращательного движения:

Для равнопеременного движения:

- для равноускоренного вращательного движения;

- для равнозамедленного вращательного движения.

Угловая скорость ω связана с линейной скоростью:

, где - тангенциальное (или касательное) ускорение;

- нормальное (или центростремильное) ускорение.

Основной закон динамики поступательного движения (II закон динамики Ньютона):

Законы сохранения импульса и энергии для изолированной системы тел:

- полный импульс системы,

Е – полная энергия системы, равная сумме кинетической и потенциальной энергии тел системы.

Основной закон динамики вращательного движения абсолютно твердого тела:

, где - вращательный момент,

J – момент инерции твердого тела,

- угловое ускорение тела.

Момент импульса твердого тела:

1.2 Примеры решения задач

Зависимость координат х, у частицы от времени t имеет вид: , м , м. Определить: а) уравнение траектории у(х), б) скорость V и ускорение а в момент времени t=0.

Уравнение траектории можно определить, решив систему уравнений х(t), у(t) с исключением времени t

Из (43, 44) следует: , .

Так как , то с учетом (45, 46) или .

Из уравнения (29) следует, что траектория имеет вид окружности радиусом 0,02 м. Определим через производные выражения скоростей Vx, Vy и ускорений ах, ау.

Пароход идет по реке от А к В со скоростью относительно берега, а обратно со скоростью . Найти: среднюю скорость парохода, скорость течения реки.

Обозначим <V> - средняя скорость парохода, t1 – время движения по течению реки, t2 – время движения против течения, V1 – скорость против

течения, V2 – скорость по течению.

Общий путь от А к В и от В к А равен Sобщ = 2S1 (56).

Обозначим Vр – скорость течения реки, V0 – скорость парохода в стоячей воде.

Из (61, 62) откуда .

Из (61) . С учетом (64, 65)

Вычисления: по (60)

Тело падает с высоты 1960 м без начальной скорости. Какой путь пройдет тело за последнюю секунду падения? За какое время тело пройдет последний метр пути?

h – вся высота падения за время t

h1 – высота падения за время без последней секунды, то есть за время (t-1)

- высота падения за последнюю секунду.

Из (16) ; Аналогично

Высота падения без последнего метра равна (71).

Обозначим t0 – время падения с высоты h0.

Из(16) . Тогда время пройденное за последний метр пути, равно . С учетом (69, 71) получим

Вычисления по (70), (73).

Тело брошено под углом α к горизонту. Максимальная высота подъема равна , S – дальность полета. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол α.

hmax – максимальная высота подъема

S – дальность полета

Траектория тела, брошенного под углом к горизонту, представляет собой параболу.

Движение рассматривается в плоскости XOY. Фактически тело участвует в двух движениях:

- вдоль оси «x» - равномерно и прямолинейное, то есть проекция скорости .

- вдоль оси «y» - равнопеременное, так как до точки А тело движется равнозамедленно, а после прохождения точки А равноускоренно с ускорение a=g. - проекция начальной скорости на ось «y».

Из (13) для движения вдоль оси «y» до точки А

, где tn – время подъема до точки А.

Так как в точке А, Vy = 0, то из (77) получим: , откуда . С учетом (75): .

С учетом равномерного движения по оси «х» , где t – общее время движения по параболе.

Так t=2tn (83), то из (74, 80, 82) следует:

По условию hmax = (85)

Из (81, 84, 85) следует:

то есть sin α = cos α (87), что соответствует значению α = 45 0 .

Колесо автомашины вращается равнозамедленно, за время 2 мин угловая скорость изменилась от 240 об/мин до 60 об/мин. Определить угловое ускорение ε и число оборотов за это время.

t = 2 мин = 120 с

ω0 = 240 об/мин ≈25,12 рад/с

ω = 60 об/мин ≈ 6,28 рад/с

Для равнозамедленного вращатель-ного движения используем формулы (29, 31), откуда

Вычисление по (88 – 90)

Ответ: , знак (-) означает характер движения, равнозамед-ленное. оборотов.

На рисунке показаны 3 тела, m1 = 10 кг, m2 = 10 кг, m3 = 8кг. Массой блоков и трением в блоках пренебречь. Коэффициент трения тела массой m2 равен 0,15. Определить силу натяжения нитей и ускорение тел.

Решение задачи на движение связанных тел основано на составлении уравнений движения для каждого из тел с учетом основного закона динамики Ньютона. На рисунке показаны силы, действующие на каждое тело:

- На тело m1: - сила тяжести, - сила натяжения нити

- На тело m2: сила тяжести и реакция опоры (компенсируют друг друга по III закону динамики, как силы действия и противодействия), - сила натяжения нити, - сила трения, - сила натяжения нити со стороны тела массой m3.

- На тело m3: - сила тяжести, - сила натяжения нити.

Подставим (95) в (94)

Из (98 – 101) получим: .

Вычисления АО (102, 103, 104) g ≈ 10 м/с 2

Пуля массой 15 г летит горизонтально и попадает в шар массой 1,5 кг, висящий на нити длиной 1м. В результате неупругого удара пуля застревает в шаре, а нить с шаром отклоняется на угол 30 0 . Определить скорость пули.

m = 15 г = 0,015 кг

Из рисунка в ΔОАВ , где l– длина нити, h – высота шара после удара.

Для неупругого удара пуля массой m, движущейся со скоростью Vпули и шара массой М закон сохранения импульса имеет вид: