Дифференцируемость и дифференциал функции

Это приращение называют полным приращением функции и.

Определение 7.2. Функция называется дифференцируемойв точке Р( х1, х2, . хп), если в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции можно представить в виде

где Ai – константы, ai = o(Dхi) , i = 1,2. п.

Функция, дифференцируемая в каждой точке множества D, называется дифференцируемой на этом множестве.

Сумма А1Dх1 + А2Dх2 +. + АпDхп в полном приращении функции линейна относительно приращений аргументов х1, х2, . хп . Можно доказать, что эта сумма эквивалентна приращению Dи.

Определение 7.3. Часть полного приращения функции и = f( х1, х2, . хп), линейная относительно приращений аргументов, называется полным дифференциалом функции и обозначают du.

Таким образом, du = А1Dх1 + А2Dх2 +. + АпDхп. Если функция дифференцируема, то для нее существует дифференциал и наоборот.

Теорема 7.2.(необходимое условие дифференцируемости)

Если и = f( х1, х2, . хп) дифференцируема в точке Р( х1, х2, . хп), то для нее существуют частные производные первого порядка по всем аргументам и

То есть Аi = "i =1,2. n. Так как для независимой переменной dх = Dх, то в последней записи дифференциала можно заменить приращения аргументов их дифференциалами и получим

Из аналогии с функцией одной переменной обозначим – частный дифференциал функции и, получим выражение для полного дифференциала , то есть полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме частных дифференциалов этой функции по всем ее аргументам.

Согласно теореме 7.2, существование частных производных первого порядка есть необходимое условие дифференцируемости, но это условие (в отличие от функции одной переменной) не является достаточным. Например, для функции

производная в точке (0, 0) существует, но полное приращение не представимо в виде Df = А1Dх + А2Dу + a1Dх + a2Dу (убедитесь в этом самостоятельно).

Достаточное условие дифференцируемости дает следующая

Если в окрестности точки Р( х1, х2, . хп) функция и = f( х1, х2, . хп) имеет непрерывные частные производные "i =1,2. n , то она дифференцируема в этой точке.

Так как в равенстве

ai – бесконечно малые более высокого порядка, чем Dхi , то

Значит, как и для функции одной переменной,

Dи » du

и в случае функции нескольких переменных.

Dи =f(P) – f(P0) » Dх1 + Dх2 +. + Dхп =

Сумма, стоящая в правой части этого приближенного равенства, определяет линейную функцию переменных х1, х2, . хп, поэтому формула (1) носит название формулы линеаризации функции п переменных в окрестности точки Р0.

Для функции z = f(x, y) двух переменных формула линеаризации в точке Р0(х0, у0) имеет вид

f(x, y) » f(х0, у0) + . (2)

Обозначим z0= f(x0, y0) и рассмотрим линейную функцию, стоящую в правой части равенства (2)

или – (z – z0) = 0. (3)

Равенство (3) в пространстве R 3 определяет плоскость, проходящую через точку (х0, у0, z0). Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке М0(х0, у0, z0).

Касательной плоскости принадлежат касательные к всевозможным кривым, лежащим на поверхности z = f(x, y) и проходящим через эту точку.

Таким образом, геометрически линеаризация функции z = f(x, y) в точке Р(х0, у0) означает замену поверхности z = f(x, y) в окрестности точки (х0, у0, z0) касательной плоскостью, проведенной к этой поверхности в указанной точке.

Нормалью к поверхности называют прямую, проходящую перпендикулярно касательной плоскости, через точку касания. Уравнение нормали кповерхности имеет вид

Если поверхность задана неявным уравнением , то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид

а уравнение нормали

Дадим определение дифференциала второго порядка.

Определение 7.4.

Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, рассматриваемого как функция переменных х и у при фиксированных значениях dx, dy. Обозначается дифференциал второго порядка функции символом или .

Понятие дифференциала третьего и выше порядков можно ввести по аналогии.

Будем говорить, что

¨ функция и = f( х1, х2, . хп) называется k раз дифференцируемой в точке Р, если все ее частные производные (k – 1)-го порядка дифференцируемы в этой точке.

¨ функция и = f( х1, х2, . хп) k раз дифференцируема в точке Р, если все ее частные производные k-го порядка непрерывны в этой точке.

*) В дальнейшем для сокращения записи «Функции нескольких переменных» будем использовать аббревиатуру ФНП

Дата добавления: 2017-11-21 ; просмотров: 1866 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ