6. Чётные числа в двоичной системе всегда оканчиваются на 0, а нечётные – на 1.
При выполнении арифметических операций в ЭВМ применяют специальные коды для представления чисел: прямой, обратный и дополнительный коды чисел.
Прямой код двоичного числа – это само двоичное число.
Обратный код положительного числа совпадает с прямым, а при записи отрицательного числа все его цифры, кроме цифры, изображающей знак числа, заменяются на противоположные (0 заменяется на 1, а 1 – на 0).
Пример: Дано число X=-1011. Перевести число в обратный код. Хобр=1.0100
Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым, а код отрицательного числа образуется как результат увеличения на 1 его обратного кода.
Пример: Дано число X=-1011. Перевести в дополнительный код. Хдоп=1.0101
11. Варианты заданий с решением
1. Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
Решение:При переводеaиbв двоичное представление, получим:a=AA16 =101010102 ,b=2558 =101011012 . Отсюда следует, что подходит значение 101011002,
2. Чему равна сумма чисел 718 и 1F16?
Решение:Надо представить числа в двоичном виде и поразрядно сложить:
718=1110012каждая цифра в 8-ой системе представляется 3-мя битами, 1F16=111112каждая цифра в 16-ой системе представляется 4-мя битами.(Представление 8-х и 16-х чисел в двоичном виде надо знать!)
Полученное двоичное число представим в 8-м и 16-м виде: 10110002=5816=1308 =8810.
3. Для передачи по каналу связи сообщения, состоящего только из символов А, Б, В и Г используется посимвольное кодирование: А-0, Б-11, В-100, Г-011. Через канал связи передается сообщение: ГБАВАВГ. Закодируйте сообщение данным кодом. Полученную двоичную последовательность переведите в восьмеричный код.
1) DBACACD2) 75043 3) 7A23 4) 3304043
Решение:Заменяя в сообщении буквы на соответствующий код, получим следующую последовательность:
0111101000100011. Разобьем эту последовательность на триады справа налево: 111 101 000 100 011, представив каждую триаду в виде 8-го числа, получим: 75043
4. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 22?
Решение: Для решения задачи достаточно рассмотреть следующие числа в троичной системе счисления: 223, 1223, 2223 и перевести их в десятичную систему счисления:
5. Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 513?
1) 5 2) 2 3) 3 4) 4
Решение: 513=512+1 => 512=2 9 = 10000000002 => 513= 10000000002 +1=10000000012
6. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 254?
1) 1 2) 2 3) 4 4) 8
Решение: 254=255 - 1 => 255=2 8 -1=111111112 – 1=111111102
7. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-78)?
1) 3 2) 4 3) 5 4) 6
переводим число 78 в двоичную систему счисления:
78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 2 6 + 2 3 + 2 2 + 2 1 = 10011102
по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов, причем старший разряд - знаковый
в прямом коде число будет представлено в виде:
делаем инверсию битов (заменяем везде, кроме знакового разряда, 0 на 1 и 1 на 0) и получим число в обратном коде:
добавляем к результату единицу и получим число в дополнительном коде:
в записи этого числа 4 единицы
8. Запись числа 6710 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?
Решение 1: Начнем с двоичной системы. Для хранения числа 67 необходимо 7 цифр, т.к. 64<67<128. 128=2 7 . Рассмотрим троичную систему. Для хранения числа 67 нужно 4 цифры, т.к. 27<67<81. 81=3 4 . Следовательно, троичная система удовлетворяет условию: "число содержит 4 цифры". Теперь необходимо проверить, удовлетворяет данная система условию: "число оканчивается на 1". Для этого нужно перевести 6710 в троичную систему. Но полный перевод делать не надо, т.к. нас интересует только первый остаток, на него и будет оканчиваться 67 в троичной системе.
Остаток равен 1. Следовательно, и второе условие выполнено, поэтому троичная система подходит. Основание троичной системы равно 3.
Решение 2:Так как запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 1, то остаток от деления числа 67 на N равен 1. Таким образом можно записать, что при некотором целом :
Из последнего выражения видно, что N (основание системы счисления) является делителем числа 66. Делителями числа 66 являются следующие натуральные числа: 2, 3,6, 11, 22, 33, 66.
Но нам известно, что запись числа содержит 4 цифры, то есть
Выпишем кубы и четвертые степени первых натуральных чисел, которые являются делителями числа 66:
Видно, что из этого списка только для числа N = 3 выполняется условие . Таким образом, ответ – 3. Проверим это, переведя число 67 в троичную систему: 6710 = 21113
9. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:
1.ААААА 2.ААААО 3.ААААУ 4.АААОА ……
Запишите слово, которое стоит на 240-м месте от начала списка.
Решение: Из списка видно, что используются только символы: "А", "О", "У". Пусть "А"=0, "О"=1, "У"=2.
Список после замены станет таким:
Видно, что это числа, идущие по порядку от нуля в троичной системе. В десятичной системе счисления список бы был таким: 0, 1 , 2, 3.
Нам нужно найти, какое число будет стоять на 240 месте. Т.к. список чисел начинается с нуля, следовательно, нам нужно перевести число 239 в троичную систему счисления. Получим число: 222123. Переведем обратно в символы: УУУОУ. Ответ: УУУОУ
10. В таблице ниже представлена часть кодовой таблицы ASCII:
Каков шестнадцатеричный код символа “q” ?
11. Решите уравнение . Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Решение:Надо перевести все числа в десятичную систему, решить уравнение и результат перевести в шестеричную систему:
из уравнения получаем
переводим 15 в шестеричную систему счисления:
12. Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих случаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию?
Решение:если запись числа в системе счисления с основанием N заканчивается на 0, то это число делится на N нацело, поэтому в данной задаче требуется найти наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на 3 и на 5, то есть это число15.
13. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.
Решение (вариант 1):
При решении задачи надо помнить, что в 5-ой системе счисления самая старшая цифра – 4.
Запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5:
Оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли.
Между 205 и 325 есть еще числа:
В них 5 цифр 2 (в числе 225 – сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз.
Решение (вариант 2):
Можно перевести все указанные числа в систему счисления с основанием 5 и подсчитать количество 2:
Получается 7 штук.
14. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трехзначна.
Решение (вариант 1):Обозначим через неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 30 в этой системе имеет вид:
Любое число в позиционной системе счисления можно представить в виде многочлена по основанию системы счисления:
По условию задачи запись числа трехзначная, т.е. , поэтому:
Из неравенства видно, что подходят только два числа для N – 4 и 5:
Минимальное из этих значений – 4.
Решение (вариант 2):Так как число по условию трехзначное, то достаточно найти первое целое число, куб которого больше 30; это - 4, так как:
Так как , следовательно, в системе счисления с основанием 4 запись числа 30 трехзначна.
15. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3?
Решение (вариант 1):Сначала определим, сколько цифр может быть в этих числах, записанных в системе счисления с основанием 5. Так как , в интересующих нас числах может быть от 1 до 3 цифр.
Трехзначные числа, начинающиеся на 3 в системе с основанием 5 можно представить:
Все они заведомо не меньше , поэтому в наш диапазон не попадают. Таким образом, остается рассмотреть только однозначные и двухзначные числа. Есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3.
Общий вид всех двузначных чисел, начинающихся на 3 в системе с основанием 5:
где – целое число из множества (поскольку система счисления имеет основание 5 и цифр, больших 4, в записи числа быть не может).
Используя эту формулу, находим интересующие нас двузначные числа – 15, 16, 17, 18 и 19.
Ответ: 3, 15, 16, 17, 18, 19
Решение (вариант 2):Поскольку , в интересующих нас числах может быть не более 2 цифр (все трехзначные пятеричные числа, начинающиеся с 3, больше 30). Есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3. Выпишем все пятеричные двузначные числа, которые начинаются с 3, и переведем их в десятичную систему: 305= 15, 315= 16, 325= 17, 335= 18 и 345= 19.
Ответ: 3, 15, 16, 17, 18, 19
16. Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления , при котором 225x= 405y? Ответ записать в виде целого числа.
Решение:Поскольку в левой и в правой частях есть цифра 5, оба основания больше 5, то есть перебор имеет смысл начинать с .
Для каждого «подозреваемого» вычисляем значение и решаем уравнение , причем, нас интересуют только натуральные .
Для и нужных решений нет, а для получаем
17. Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится ровно 6 единиц. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них.
Решение:Нужно перевести все заданные числа в двоичную систему, подсчитать число единиц и выбрать наибольшее из чисел, в которых ровно 6 единиц.
Для первого варианта переведем оба сомножителя в двоичную систему:
В первом числе ровно 6 единиц, умножение на второе добавляет в конец два нуля:
то есть в этом числе 6 единиц.
Для второго варианта воспользуемся связью между шестнадцатеричной и двоичной системами счисления: каждую цифру шестнадцатеричного числа можно переводить отдельно в тетраду (4 двоичных цифры):
после добавления единицы F816 + 1 = 1111 10012 также получаем число, содержащее ровно 6 единиц, но оно меньше, чем число в первом варианте ответа.
Для третьего варианта используем связь между восьмеричной и двоичной системами: каждую цифру восьмеричного числа переводим отдельно в триаду (группу из трёх) двоичных цифр:
это число тоже содержит 6 единиц, но меньше, чем число в первом варианте ответа.
Последнее число 111001112 уже записано в двоичной системе, оно тоже содержит ровно 6 единиц, но меньше первого числа
Таким образом, все 4 числа, указанные в вариантах ответов содержат ровно 6 единиц, но наибольшее из них – первое
18. Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе: 10001011, 10111000, 10011011, 10110100. Сколько среди них чисел, больших, чем А416 +208?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Решение:Надо перевести А416+208 в двоичную систему счисления, разложив их по тетрадам для 16-х чисел и по триадам для 8-х чисел: А416- 101001002и 208- 100002и поразрядно сложить: 101001002+ 100002= 101101002.
Сравнив с заданными числами, видим, что только одно число больше полученного, это: 10111000.
19. Найти сумму восьмеричных чисел 178 +1708 +17008 +. +17000008, перевести в 16-ую систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, третью цифру слева.
Решение:Несложно выполнить прямое сложение восьмеричных чисел, там быстро обнаруживается закономерность:
178 + 1708 = 2078
178 + 1708 + 17008 = 21078
178 + 1708 + 17008 + 170008 = 211078
178 + 1708 + 17008 + 170008 + 1700008 = 2111078
178 + 1708 + 17008 + 170008 + 1700008 + 17000008 = 21111078
Переведем последнюю сумму через триады в двоичный код (заменяем каждую восьмеричную цифру на 3 двоичных):
Теперь разбиваем цепочку на тетрады (группы из 4-х двоичных цифр), начиная справа, и каждую тетраду представляем в виде шестнадцатеричной цифры 8924716
Третья цифра слева: 2.
20. В системе счисления с некоторым основанием число 17 записывается в виде 122. Укажите это основание.
Решение: Обозначим искомое основание системы счисления через x, тогда можно записать выражение:
17 = x 2 +2 x+2 или x 2 +2 x-15 = 0. Решив это уравнение, получим x=3.