Как найти объём тела вращения с помощью интеграла
Объём тела вращения: исходные данные и формулы
С помощью определённого интеграла можно вычислять не только площади плоских фигур, но и объёмы тел, образованных вращением этих фигур вокруг осей координат.
Примеры таких тел - на рисунке ниже.
В задачах у нас есть криволинейные трапеции, которые вращаются вокруг оси Ox или вокруг оси Oy . Для вычисления объёма тела, образованного вращением криволинейной трапеции, нам понадобятся:
- число "пи" (3,14. );
- если кривая вращается вокруг оси Ox - непосредственно данная в задаче функция ("игрек"), задающая вращающуюся кривую, и определённый интеграл от квадрата "игрека";
- если кривая вращается вокруг оси Oy ) - "икс", выраженный из "игрека" - данной в задаче функции - и определённый интеграл от квадрата "икса";
- пределы интегрирования - a и b. Если кривая вращается вокруг оси Ox , то это значения на оси "иксов" крайних точек фигуры. Если же кривая вращается вокруг оси Oy , то это значения крайних точек фигуры на оси "игреков". Если фигура ограничена данными в задаче прямыми - то пределы найти совсем просто: например, x 1 =1 и x 2 =4 означает, что нижний и верхний пределы интегрирования равны соответственно 1 и 4. В более сложных случаях для нахождения пределов интегрирования нужно найти точки пересечения линий, между которыми заключена вращающаяся кривая. Это делается с помощью графика, который необходимо построить к каждой отдельно взятой задаче. На графике будут видны координаты (абсциссы и ординаты) точек пересечения.
Итак, тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f(x) , имеет объём
Аналогично объём v тела, полученного вращением вокруг оси ординат ( Oy ) криволинейной трапеции выражается формулой
При вычислении площади плоской фигуры мы узнали, что площади некоторых фигур могут быть найдены как разность двух интегралов, в которых подынтегральные функции - те функции, которые ограничивают фигуру сверху и снизу. Похоже обстоит дело и с некоторыми телами вращения, объёмы которых вычисляются как разность объёмов двух тел, такие случаи разобраны в примерах 3, 4 и 5.
Решаем задачи вместе
Пример 1. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс ( Ox ) фигуры, ограниченной гиперболой , осью абсцисс и прямыми , .
Решение. Объём тела вращения найдём по формуле (1), в которой , а пределы интегрирования a = 1 , b = 4 . Применяем табличный интеграл 9. Постоянный множитель 4²=16 выносим за знак интеграла. Получаем:
Пример 2. Найти объём шара радиуса R.
Решение. Рассмотрим шар как тело, получащееся при вращении вокруг оси абсцисс полукруга радиуса R с центром в начале координат. Тогда в формуле (1) подынтегральная функция запишется в виде , а пределами интегрирования служат -R и R. В вычислениях радиус R считается константой (вместо него можно подставить любое значение для шара с любым радиусом). Применяем табличный интеграл 7. Следовательно,
Пример 3. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс ( Ox ) фигуры, заключённой между параболами и .
Решение. Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением вокруг оси абсцисс криволинейных трапеций ABCDE и ABFDE . Объёмы этих тел найдём по формуле (1). В ней пределы интегрирования равны и - абсциссам точек B и D пересечения парабол. Эти точки и их абсциссы видны на графике. Точно также - на графике - можно определить координаты точек пересечения линий из ваших задач. Только для этого нужно построить график. Теперь можем найти объём тела, применяя всё тот же табличный интеграл 7:
Пример 4. Вычислить объём тора (тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса a вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии b от центра круга ( ). Форму тора имеет, например, баранка).
Решение. Пусть круг вращается вокруг оси Ox (рис. 20). Объём тора можно представить как разности объёмов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси Ox.
Уравнение окружности LBCD имеет вид
причём уравнение кривой BCD
а уравнение кривой BLD
Используя разность объёмов тел, получаем для объёма тора v выражение и вычисляем интеграл:
Пример 5. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси ординат ( Oy ) фигуры, ограниченной линиями и .
Решение. Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением вокруг оси ординат треугольника OBA и криволинейной трапеции OnBA . Объёмы этих тел найдём по формуле (2). Пределами интегрирования служат и - ординаты точек O и B пересечения параболы и прямой, что видно на графике к этому примеру. Таким образом, получаем объём тела:
Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 6. Часть плоскости, ограниченной линиями , и , вращается 1) вокруг оси абсцисс ( Ox ); 2) вокруг оси ординат ( Oy ). Вычислить объём полученного тела вращения.
Пример 7. Найти объём эллипсоида, полученного вращением эллипса вокруг оси абсцисс ( Ox ).