Кодирование чисел. Системы счисления.

· чтобы перевести число, скажем, 12345N, из системы счисления с основанием в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на в степени, равной ее разряду:

4 3 2 1 0 ← разряды

1 2 3 4 5N = 1·N 4 + 2·N 3 + 3·N 2 + 4·N 1 + 5·N 0

· последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием – это остаток от деления этого числа на

· две последние цифры – это остаток от деления на , и т.д.

· число 2 N в двоичной системе записывается как единица и N нулей:

· число 2 N - 1 в двоичной системе записывается как N единиц:

· число 2 N – 2 K при K < N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей:

· поскольку , получаем , откуда следует, что

Пример задания:

Р-21. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4 512 + 8 512 – 2 128 – 250

Решение (способ Е.А. Смирнова, Нижегородская область):

1) Общая идея: количество значащих нулей равно количеству всех знаков в двоичной записи числа (его длине!) минус количество единиц

2) приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 250 = 256 – 4 – 2 = 2 8 – 2 2 – 2 1 :

4 512 + 8 512 – 2 128 – 250 = (2 2 ) 512 + (2 3 ) 512 – 2 128 – 2 8 + 2 2 + 2 1 =

= 2 1536 + 2 1024 – 2 128 – 2 8 + 2 2 + 2 1

3) старшая степень двойки – 2 1536 , двоичная запись этого числа представляет собой единицу и 1536 нулей, то есть, состоит из 1537 знаков; таким образом, остаётся найти количество единиц

4) вспомним, число 2 N –2 K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:

5) для того чтобы использовать это свойство, нам нужно представить заданное выражение в виде пар вида 2 N –2 K , причём в этой цепочке степени двойки нужно выстроить по убыванию

6) в нашем случае вы выражении

2 1536 + 2 1024 – 2 128 – 2 8 + 2 2 + 2 1

стоит два знака «минус» подряд, это не позволяет сразу использовать формулу

7) используем теперь равенство , так что – 2 128 = – 2 129 + 2 128 ; получаем

2 1536 + 2 1024 – 2 129 + 2 128 – 2 8 + 2 2 + 2 1

здесь две пары 2 N –2 K , а остальные слагаемые дают по одной единице

8) общее число единиц равно 1 + (1024 – 129) + (128 – 8) + 1 + 1 = 1018

9) таким образом, количество значащих нулей равно 1537 – 1018 = 519

Ещё пример задания:

Р-20. Сколько единиц в двоичной записи числа 4 2015 + 8 405 – 2 150 – 122

Решение (способ Е.А. Смирнова, Нижегородская область):

11) приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 122 = 128 – 4 – 2 = 2 7 – 2 2 – 2 1 :

4 2015 + 8 405 – 2 150 – 122 = (2 2 ) 2015 + (2 3 ) 405 – 2 150 – 2 7 + 2 2 + 2 1 = 2 4030 + 2 1215 – 2 150 – 2 7 + 2 2 + 2 1

12) вспомним, число 2 N –2 K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:

13) для того чтобы использовать это свойство, нам нужно представить заданное выражение в виде пар вида 2 N –2 K , причём в этой цепочке степени двойки нужно выстроить по убыванию

14) в нашем случае вы выражении

2 4030 + 2 1215 – 2 150 – 2 7 + 2 2 + 2 1

стоит два знака «минус» подряд, это не позволяет сразу использовать формулу

15) используем теперь равенство , так что – 2 150 = – 2 151 + 2 150 ; получаем 2 4030 + 2 1215 – 2 151 + 2 150 – 2 7 + 2 2 + 2 1 здесь две пары 2 N –2 K , а остальные слагаемые дают по одной единице

16) общее число единиц равно 1 + (1215 – 151) + (150 – 7) + 1 + 1 = 1210

Ещё пример задания:

Р-19. Решите уравнение .

Ответ запишите в троичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

1) переведём все числа в десятичную систему счисления:

2) собирая всё в одно уравнение получаем

3) это уравнение имеет два решения, 6 и -8; основание системы счисления – натуральное число, поэтому ответ – 6

4) переводим ответ в троичную систему: 6 = 2?3 1 = 203.

Ещё пример задания:

Р-18. Сколько единиц в двоичной записи числа 4 2014 + 2 2015 – 8

Решение:

1) приведём все числа к степеням двойки:

4 2014 + 2 2015 – 8 = (2 2 ) 2014 + 2 2015 – 2 3 = 2 4028 + 2 2015 – 2 3

2) вспомним, что число 2 N -1в двоичной системе записывается как N единиц: , а число 2 N –2 K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:

3) согласно п. 2, число 2 2015 – 2 3 запишется как 2012 единиц и 3 нуля

4) прибавление 2 4028 даст ещё одну единицу, всего получается 2012 + 1 = 2013 единиц

Ещё пример задания:

Р-17. Сколько единиц в двоичной записи числа 4 2016 + 2 2018 – 8 600 + 6

Решение:

1) приведём все числа к степеням двойки, разложив 6 как 2 2 +2 1 4 2016 + 2 2018 – 8 600 + 6 = (2 2 ) 2016 + 2 2018 - (2 3 ) 600 + 2 2 + 2 1 = 2 4032 + 2 2018 – 2 1800 + 2 2 + 2 1

2) вспомним, что число 2 N -1в двоичной системе записывается как N единиц: ,

3) согласно п. 2, число 2 2018 – 2 1800 запишется как 218 единиц и 1800 нулей

4) прибавление 2 4032 даст ещё одну единицу, а прибавление 2 2 + 2 1 – ещё две, всего получается 218 + 3 = 221 единица

Ещё пример задания:

Р-16. Сколько единиц в двоичной записи числа 4 2016 – 2 2018 + 8 800 – 80

Решение:

1) приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 2 6 +2 4

4 2016 – 2 2018 + 8 800 – 80 = (2 2 ) 2016 – 2 2018 + (2 3 ) 800 – 2 2 – 2 1 = 2 4032 – 2 2018 + 2 2400 – 2 6 – 2 4

2) перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки

2 4032 + 2 2400 – 2 2018 – 2 6 – 2 4

3) вспомним, что число 2 N -1в двоичной системе записывается как N единиц: , а число 2 N –2 K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:

4) согласно п. 2, число 2 2400 – 2 2018 запишется как 382 единицы и 2018 нулей

5) добавляем старшее слагаемое 2 4032 , получаем число 2 4032 + 2 2400 – 2 2018 , в котором 383 единицы и в конце (после последней единицы) – 2018 нулей:

6) выделим из этого значения последнюю единицу со следующими 2018 нулями как отдельное слагаемое (число 2 2018 ):

где число K содержит 382 единицы в старших разрядах; таки образом, интересующее нас число равно

7) согласно п. 2, число 2 2018 – 2 6 запишется как 2012 единиц и 6 нулей; также выделим последнюю единицу с последующими нулями как отдельное слагаемое:

где число L содержит 2011 единиц

8) теперь остаётся найти, сколько единиц будет в двоичной записи числа 2 6 – 2 4 , согласно п. 2 находим, что оно содержит 2 единицы

9) таким образом, общее число единиц равно 382 + 2011 + 2 = 2395

Решение (способ 2, Е.А. Смирнов, Нижегородская область):

1) приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 2 6 +2 4 4 2016 – 2 2018 + 8 800 – 80 = (2 2 ) 2016 – 2 2018 + (2 3 ) 800 – 2 2 – 2 1 = 2 4032 – 2 2018 + 2 2400 – 2 6 – 2 4

2) перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки 2 4032 + 2 2400 – 2 2018 – 2 6 – 2 4

3) представим – 2 2018 = – 2 2019 + 2 2018 и – 2 6 = – 2 7 + 2 6 2 4032 + 2 2400 – 2 2019 + 2 2018 – 2 7 + 2 6 – 2 4

4) слагаемое 2 4032 в двоичной записи содержит 1 единицу

5) слагаемое 2 2400 – 2 2019 содержит 381 единицу (число 2 N –2 K при K < N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей: )

6) слагаемое 2 2018 – 2 7 содержит 2011 единиц, слагаемое 2 6 – 2 4 содержит 2 единицы

7) позиции единиц во всех этих слагаемых не совпадают, поэтому общее количество единиц равно 1 + 381 + 2011 + 2 = 2395

Решение (способ 3, А.И. Козлов, г. Северобайкальск):

1) приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как 2 6 +2 4

4 2016 – 2 2018 + 8 800 – 80 = (2 2 ) 2016 – 2 2018 + (2 3 ) 800 – 2 2 – 2 1 = 2 4032 – 2 2018 + 2 2400 – 2 6 – 2 4

2) перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки

2 4032 + 2 2400 – 2 2018 – 2 6 – 2 4

3) выражение 2 2400 –2 4 дает 2396 единиц и 4 нолика в конце, откуда вычеркиваем (заменяем на ноль) единичку, стоящую на седьмом месте справа (2 6 ) и, соответственно на 2019 месте справа (2 2018 ). Следовательно, остается 2394 единички.

4) С учетом того, что 2 4032 дает нам одну единицу, в итоге получаем 2395 единиц

Ещё пример задания:

Р-15. Решите уравнение . Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

1) удобнее всего перевести все числа в десятичную систему, решить уравнение и результат перевести в шестеричную систему

3) уравнение приобретает вид , откуда получаем

4) переводим 15 в шестеричную систему счисления:

Ещё пример задания:

Р-14. Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих случаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию?

Решение:

6) если запись числа в системе счисления с основанием N заканчивается на 0, то это число делится на N нацело

7) поэтому в данной задаче требуется найти наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на 3 и на 5, то есть, делится на 15

8) очевидно, что это число 15.

Ещё пример задания:

Р-13. Запись числа 6710 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления N.

Решение:

9) поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 1, то остаток от деления числа 67 на N равен 1, то есть при некотором целом имеем

10) следовательно, основание N – это делитель числа 66

11) с другой стороны, запись числа содержит 4 цифры, то есть

12) выпишем кубы и четвертые степени первых натуральных чисел, которые являются делителями числа 66:

13) видим, что из этого списка только для числа N = 3 выполняется условие

14) таким образом, верный ответ – 3.

15) можно сделать проверку, переведя число 67 в троичную систему 6710 = 21113

Еще пример задания:

Р-12. Запись числа 38110 в системе счисления с основанием N оканчивается на 3 и содержит 3 цифры. Укажите наибольшее возможное основание этой системы счисления N.

Решение:

1) поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 3, то остаток от деления числа 381 на N равен 3, то есть при некотором целом имеем

2) следовательно, основание N – это делитель числа

3) с другой стороны, запись числа содержит 3 цифры, то есть

4) неравенство дает (так как )

5) неравенство дает (так как )

6) таким образом, ; в этом диапазоне делителями числа 378 являются числа

· 9, при получаем запись числа

· 14, при получаем запись числа

· 18, при получаем запись числа

7) наибольшим из приведенных чисел – это 18 (можно было сразу искать подбором наибольший делитель числа 378, начиная с 19 «вниз», на уменьшение)

8) таким образом, верный ответ – 18.

Еще пример задания:

Р-11. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Общий подход:

· вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на , а две младших цифры – это остаток от деления на и т.д.

· в данном случае , остаток от деления числа на должен быть равен 114 = 5

· потому задача сводится к тому, чтобы определить все числа, которые меньше или равны 25 и дают остаток 5 при делении на 16

Решение (вариант 1, через десятичную систему):

1) общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16:

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …)

2) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25»); их всего два: 5 (при ) и 21 (при )

3) таким образом, верный ответ – 5, 21 .

Возможные ловушки и проблемы: · выражение «не превосходящие » означает «меньшие или равные », а не строго меньшие · остаток, состоящий из нескольких цифр (здесь – 114), нужно не забыть перевести в десятичную систему · найденные числа нужно записать именно в порядке возрастания, как требуется

Решение (вариант 2, через четверичную систему, предложен О.А. Тузовой):

1) переведем 25 в четверичную систему счисления: 25 = 1214, все интересующие нас числа не больше этого значения

2) из этих чисел выделим только те, которые заканчиваются на 11, таких чисел всего два: это 114 = 5 и 1114 = 21

3) таким образом, верный ответ – 5, 21 .

Возможные ловушки и проблемы: · есть риск случайно «забыть» какое-то число или найти «лишнее» (в данном случае – большее 25) · можно сделать ошибки при переводе чисел из четверичной системы в десятичную или вообще «забыть» перевести

Еще пример задания:

Р-10. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

Общий подход:

· здесь обратная задача – неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

· поскольку последняя цифра числа – 2, основание должно быть больше 2, то есть

Решение:

1) итак, нужно найти все целые числа , такие что остаток от деления 23 на равен 2, или (что то же самое)

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

2) сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа

3) из формулы (*) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 21, которые больше 2

4) в этой задаче есть только три таких делителя: и

5) таким образом, верный ответ – 3, 7, 21 .

Возможные ловушки и проблемы: · нужно учесть, что основание системы счисления должно быть больше любой цифры числа, поэтому делитель не подходит (должно быть ) · числа нужно записывать в ответе в порядке возрастания, как требуется по условию

Еще пример задания:

Р-9. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.

Общий подход:

· неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

· пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием состоит из трех цифр, причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через ) нужно найти:

31 = k 1 1N = k·N 2 + N 1 + N 0 = k·N 2 + N + 1

· можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть, число 31 можно представить как при некотором целом ; например, для числа с пятью разрядами получаем:

4 3 2 1 0 ← разряды

= k·N 2 + N + 1

для (из первых трех слагаемых вынесли общий множитель )

Решение:

1) итак, нужно найти все целые числа , такие что

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

2) сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа

3) из формулы (**) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение (**) разрешимо при целом , то есть, – целое число

4) выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

5) из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение – целое число (оно равно соответственно 7, 3, 1 и 0)

6) таким образом, верный ответ – 2, 3, 5, 30.

Еще пример задания:

Р-8. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.

Решение (вариант 1):

1) запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5:

2) заметим, что оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли

3) между 205 и 325 есть еще числа

4) в них 5 цифр 2 (в числе 225 – сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз

5) таким образом, верный ответ – 7.

Возможные ловушки и проблемы: · нужно не забыть, что в системе счисления с основанием 5 старшая цифра – 4, то есть, вслед за 245 следует 305 · помните, что нужно определить не количество чисел, в которых есть двойка, а количество самих двоек · можно не обратить внимание на то, что в числе 225 цифра 2 встречается 2 раза

Решение (вариант 2):

1) переведем все указанные числа в систему счисления с основанием 5:

2) считаем цифры 2 – получается 7 штук

3) таким образом, верный ответ – 7 .

Еще пример задания:

Р-7. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трехзначна.

Решение:

1) обозначим через неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 30 в этой системе имеет вид

2) вспомним алгоритм перевода числа из системы счисления с основанием в десятичную систему: расставляем сверху номера разрядов и умножаем каждую цифру на основание в степени, равной разряду:

3) поскольку запись трехзначная, , поэтому

4) с другой стороны, четвертой цифры нет, то есть, в третьем разряде – ноль, поэтому

5) объединяя последние два условия, получаем, что искомое основание удовлетворяет двойному неравенству

6) учитывая, что – целое число, методом подбора находим целые решения этого неравенства; их два – 4 и 5:

7) минимальное из этих значений – 4

8) таким образом, верный ответ – 4 .

Решение (без подбора):

1) выполним п.1-4 так же, как и в предыдущем варианте решения

2) найдем первое целое число, куб которого больше 30; это 4, так как

3) проверяем второе неравенство: , поэтому в системе счисления с основанием 4 запись числа 30 трехзначна

4) таким образом, верный ответ – 4 .

Еще пример задания:

Р-6. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3?

Решение (вариант 1):

1) нас интересуют числа от 1 до 30

2) сначала определим, сколько цифр может быть в этих числах, записанных в системе счисления с основанием 5

3) поскольку , в интересующих нас числах может быть от 1 до 3 цифр

4) рассмотрим трехзначные числа, начинающиеся на 3 в системе с основанием 5:

все они заведомо не меньше , поэтому в наш диапазон не попадают;

5) таким образом, остается рассмотреть только однозначные и двухзначные числа

6) есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3

7) общий вид всех двузначных чисел, начинающихся на 3 в системе с основанием 5:

где – целое число из множества (поскольку система счисления имеет основание 5 и цифр, больших 4, в записи числа быть не может)

8) используя эту формулу, находим интересующие нас двузначные числа – 15, 16, 17, 18 и 19

9) таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 .

Решение (вариант 2, предложен Сенькиной Т.С., г. Комсомольск-на-Амуре ):

1) нас интересуют числа от 1 до 30; сначала определим, сколько цифр может быть в пятеричной записи эти чисел

2) поскольку , в интересующих нас числах может быть не более 2 цифр (все трехзначные пятеричные числа, начинающиеся с 3, больше 30)

3) есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3

4) выпишем все пятеричные двузначные числа, которые начинаются с 3, и переведем их в десятичную систему: 305 = 15, 315 = 16, 325 = 17, 335 = 18 и 345 = 19

5) таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 .

Еще пример задания:

Р-5. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Решение (1 способ):

1) Если число в системе с основанием оканчивается на 13, то

а) , потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 3

б) это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число

2) определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения следует .

3) очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает

здесь мы подставили – наименьшее допустимое значение

4) остается перебрать все допустимые значения (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение

относительно , причем нас интересуют только натуральные числа

б) при : решения – не целые числа

в) при : и , второе решение не подходит

6) таким образом, верный ответ: 4, 68.

Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):

1) запись числа71 в системе с основанием оканчивается на 13, т.е. в разряде единиц – 3, это значит, что остаток от деления 71 на равен 3, то есть для некоторого целого имеем

2) таким образом, искомые основания – делители числа 68; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи

3) среди чисел, оканчивающихся на 13 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число ; отсюда найдем максимальное основание:

так что первый ответ: 68.

4) остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 13, имеют не менее 3-х знаков ( , …), т.е. все они больше

5) поэтому , следовательно,

6) по условию в записи числа есть цифра 3, поэтому (в системах с основанием £ 3 цифры 3 нет)

7) итак: , и при этом – делитель 68; единственное возможное значение (на 5,6,7 и 8 число 68 не делится)

8) таким образом, верный ответ: 4, 68.

Возможные ловушки и проблемы: · на шаге 1 нужно вычесть из числа только число единиц, то есть младшую из двух заданных цифр (в примере – 3) · можно забыть рассмотреть двузначное число, записанное заданными в условии цифрами (в примере – 13x ), и пропустить максимальное основание · нужно помнить, что а) максимальная цифра на 1 меньше основания системы счисления б) 100 в системе с основанием p равно p 2

Еще пример задания:

Р-4. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 86 оканчивается на 22.

Решение (1 способ):

1) Если число в системе с основанием оканчивается на 22, то

а) , потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 2

б) это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число

2) определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения следует .

3) очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает

здесь мы подставили – наименьшее допустимое значение

4) остается перебрать все допустимые значения (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение

относительно , причем нас интересуют только натуральные числа

б) при : решения – не целые числа

в) при : и , второе решение не подходит

г) при : решения – не целые числа

6) таким образом, верный ответ: 6, 42.

Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):

1) запись числа 86 в системе с основанием оканчивается на 22, т.е. в разряде единиц – 2, это значит, что остаток от деления 86 на равен 2, то есть для некоторого целого имеем

2) таким образом, искомые основания – делители числа 84; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи

3) среди чисел, оканчивающихся на 22 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число ; отсюда найдем максимальное основание:

так что первый ответ: 42.

4) остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 22, имеют не менее 3-х знаков ( , …), т.е. все они больше

5) поэтому , следовательно,

6) по условию в записи числа есть цифра 2, поэтому

7) итак: , и при этом – делитель 84; возможные значения (на 5,8 и 9 число 84 не делится)

8) переводя число 86 в системы счисления с основаниями , находим, что только для основания 6 запись числа оканчивается на 22 (при делении на 3, 4 и 7 «вторые» остатки не равны 2):

Дальше делить нет смысла 9… 5… 1 1 5

9) таким образом, верный ответ: 6, 42.

Еще пример задания:

Р-3. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 94 начинается на 23.

Решение:

1) Из условия сразу видно, что искомое основание не меньше 4 (в записи есть цифра 3).

2) Если запись числа 94 в некоторой системе счисления с основанием двузначна (94 = 23x), то справедливо равенство ; нас интересуют натуральные решения этого уравнения, такие что , таких решений нет.

3) Предположим, что число четырехзначное. Минимальное допустимое четырехзначное число – 2300x, где . При минимальном основании ( ) оно равно , поэтому запись нужного нам числа имеет не больше трех знаков.

4) На основании (2) и (3) делаем вывод, что число трехзначное, то есть , где – целое неотрицательное число, такое что .

5) Максимальное можно определить как решение уравнения (при ); получаем одно из решений – 6,15; поэтому

6) Если мы знаем , то определится как ; пробуем подставлять в эту формулу , пытаясь получить

7) Минимальное будет при : , а при получается

8) Таким образом, верный ответ: 6.

Еще пример задания:

Р-2. Найти сумму восьмеричных чисел 178 +1708 +17008 +. +17000008, перевести в 16-ую систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, третью цифру слева.

Решение:

1) Несложно выполнить прямое сложение восьмеричных чисел, там быстро обнаруживается закономерность:

2) Переведем последнюю сумму через триады в двоичный код (заменяем каждую восьмеричную цифру на 3 двоичных):

3) Теперь разбиваем цепочку на тетрады (группы из 4-х двоичных цифр), начиная справа, и каждую тетраду представляем в виде шестнадцатеричной цифры

4) Таким образом, верный ответ (третья цифра слева): 2.

Еще пример задания:

Р-1. Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления , при котором 225x = 405y? Ответ записать в виде целого числа.

Решение:

1) Поскольку в левой и в правой частях есть цифра 5, оба основания больше 5, то есть перебор имеет смысл начинать с .

2) Очевидно, что , однако это не очень нам поможет.

3) Для каждого «подозреваемого» вычисляем значение и решаем уравнение , причем нас интересуют только натуральные .

4) Для и нужных решений нет, а для получаем

5) Таким образом, верный ответ (минимальное значение ): 8.

Еще пример задания:

Р-0. Запись числа 3010 в системе счисления с основанием N оканчивается на 0 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?

Решение (1 способ, подбор):

1) запись числа 30 в системе с основанием N длиннее, чем в десятичной (4 цифры против двух), поэтому основание N меньше 10

2) это дает шанс решить задачу методом подбора, переводя в разные системы, начиная с N = 2 до N = 9

4) дальше можно не переводить, поскольку запись 10103 удовлетворяет условию: заканчивается на 0 и содержит 4 цифры

5) можно проверить, что при N ≥ 4 запись числа 30 содержит меньше 4 цифр, то есть не удовлетворяет условию

Решение (2 способ, неравенства):

1) запись числа 30 в системе с основанием N содержит ровно 4 цифры тогда и только тогда, когда старший разряд – третий, то есть

2) первая часть двойного неравенства дает (в целых числах)

3) вторая часть неравенства дает (в целых числах)

4) объединяя результаты пп. 2 и 3 получаем, что N = 3

5) заметим, что условие «оканчивается на 0» – лишнее, ответ однозначно определяется по количеству цифр

Задачи для тренировки:

1) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.

2) В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Укажите это основание.

3) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 39 оканчивается на 3.

4) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.

5) В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 129 записывается как 1004. Укажите это основание.

6) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 40 оканчивается на 4.

7) В системе счисления с некоторым основанием число десятичное 25 записывается как 100. Найдите это основание.

8) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 27 оканчивается на 3.

9) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 22?

10) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в четверичной системе счисления оканчивается на 31?

11) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, не превосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры?

12) Укажите, сколько всего раз встречается цифра 3 в записи чисел 19, 20, 21, …, 33 в системе счисления с основанием 6.

13) Укажите, сколько всего раз встречается цифра 1 в записи чисел 12, 13, 14, …, 31 в системе счисления с основанием 5.

14) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 1.

15) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 63 оканчивается на 23.

16) Десятичное число, переведенное в восьмеричную и в девятеричную систему, в обоих случаях заканчивается на цифру 0. Какое минимальное натуральное число удовлетворяет этому условию?

17) В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.

18) Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 70 трехзначна.

19) Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 двузначна.

20) Сколько значащих цифр в записи десятичного числа 357 в системе счисления с основанием 7?

21) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием 6 начинается на 4?

22) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 20, запись которых в системе счисления с основанием 3 начинается на 2?

23) Какое десятичное число при записи в системе счисления с основанием 5 представляется как 12345?

24) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 101?

25) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 30 оканчивается на 8.

26) Укажите через запятую в порядке возрастания все осн

Что нужно знать: