Планиметрия. Подготовка к ОГЭ (задачи 10; 24; 25 и 26) Подготовка к ЕГЭ (задачи 6 и 16)

1 Тема: Вписанные углы. Вписанные четырехугольники. Планиметрия. Подготовка к ОГЭ (задачи 10; 24; 25 и 26) Подготовка к ЕГЭ (задачи 6 и 16) Центральные и вписанные углы. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. Свойство углов вписанного четырехугольника. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180. Задачи Базовый уровень. 1. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна длины окружности. Ответ дайте в градусах. 2. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру 200, а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру 80. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. Ответ: Найдите градусную меру дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах. Ответ: Хорда AB делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах. Ответ: 45. Ответ: 105.

2 5. Точки ABC,, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 3:8:25. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах. 6. AC и BD диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 16. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. Ответ: Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные меры которых равны соответственно 118 и 38. Ответ дайте в градусах. Ответ: Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 134, угол CAD равен 81. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. Ответ: Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 84. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. Ответ: Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 21 и 49. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Ответ: 96. Ответ: 159.

3 11. Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 1:8:17. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах. Ответ: Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:2:7:26. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах. 13. Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 140. Найдите число вершин многоугольника. Повышенный уровень. Ответ: 9. Ответ: 45. ОГЭ. Задача Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках М, К и Р. Найдите углы треугольника АВС, если углы треугольника МКР равны 46, 66 и 68. Ответ: 44; 48; 88. ОГЭ. Задача Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжение сторон AD и ВС четырехугольника пересекаются в точке К. Докажите, что треугольник КАВ подобен треугольнику КСD. Профильный уровень. ОГЭ. Задача В треугольнике АВС длины сторон АВ=8, АС=64, точка О центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD. Ответ: 63. ЕГЭ. Задача В остроугольном треугольнике АВС провели высоту ВН. Из точки Н на стороны АВ и ВС опустили перпендикуляры НК и НМ соответственно. а) Докажите, что треугольник МВК подобен треугольнику АВС. б) Найдите отношение площади треугольника МВК к площади четырехугольника АКМС, если ВН=2, а радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 4. Ответ: 1/15.

4 Базовый уровень. Решение. 1. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна длины окружности. Ответ дайте в градусах. 1) 2) 11 AB ACB AB Ответ: Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру 200, а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру 80. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. 1) AB ) 1 1 ACB AB Ответ: Найдите градусную меру дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах. AOC 45 центральный, поэтому AC 45 Ответ: Хорда AB делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах. 1) 5 x 7 x 360 x 30 AB без С 7x ) 3) 1 1 ACB AB Ответ: 105.

5 5. Точки ABC,, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 3:8:25. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах. 1) 3x 8x 25x 360 x 10 больший угол. 1 1 B 25x ) B 6. AC и BD диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 16. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. 1) AOB 2 ACB ценральный вписанный 2) AOD и AOB - смежные углы AOD 180 AOB Ответ: 125. Ответ: Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные меры которых равны соответственно 118 и 38. Ответ дайте в градусах. 1) 1 1 BDA AB DAE DE ADC BDA DAC C (по теореме о 2), внешнем угле треугольника) C ACB BDA DAC Задачу можно решить быстрее, зная формулу: AB DE C. Ответ: Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 134, угол CAD равен 81. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. 1) ADC 2 ABC CD 2 CAD ) AD ADC CD AD 106 ABD Ответ: 53.

6 9. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 84. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. Т.к. четырехугольник ABCD вписан в окружность, то A C 180. C Ответ: Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 21 и 49. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. A C 180, 21 C 180 D B 180, 49 B 180 Значит, C больший. C Ответ: Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 1:8:17. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах. 1) A C 180, x 17x 180, x 10. 2) B D 180, D 180 8x Ответ: Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:2:7:26. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах 1) 2) AB BC CD AD 360, x 2x 7x 26x 360, x 10 BCD 2x 7x 9x 90 A Ответ: Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 140. Найдите число вершин многоугольника.. 1) CO биссектриса BCD OBC OCB 70, BOC 40 ; 2) Ответ: 9.,

7 Повышенный уровень. ОГЭ. Задача Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках М, К и Р. Найдите углы треугольника АВС, если углы треугольника МКР равны 46, 66 и 68. Центр вписанной окружности точка пересечения биссектрис. М, К, Р точки касания окружности и сторон треугольника АВС. PMK вписанный угол, POK соответствующий ему центральный. POK 2 PMK В четырехугольнике РОКС OPC OKC , тогда POK C 180. C Аналогично, MOP 2 MKP , A ABC B ОГЭ. Задача 25. Ответ: 44; 48; Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжение сторон AD и ВС четырехугольника пересекаются в точке К. Докажите, что треугольник КАВ подобен треугольнику КСD. 1) Т.к. окружность описана около четырехугольника ABCD, B CDA 180, B 180 CDA. 2) KDC и CDA - смежные углы, значит, по свойству смежных углов, KDC 180 CDA. 3) Рассмотрим KCD и KAB. B KDC K общий KCD KAB (по двум углам). Ч.т.д.

8 Профильный уровень. ОГЭ. Задача В треугольнике АВС длины сторон АВ=8, АС=64, точка О центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD. 1) Продолжим АО до пересечения с окружностью в точке М, АМ диаметр. Продолжим BD до пересечения с окружностью в точке К, BK AM. 2) Т.к. BK AM, то хорда ВК делится точкой пересечения с диаметром АМ пополам, значит, ABK равнобедренный. AB AK 8, ABK AKB 3) ABK ACK, как опирающиеся на одну дугу АК. AKC ADK (по двум углам, A общий, AKD ACK ). Тогда, AK AC 8 64 ; ; AD 1. AD AK AD 8 DC AC AD Ответ: 63.

9 ЕГЭ. Задача В остроугольном треугольнике АВС провели высоту ВН. Из точки Н на стороны АВ и ВС опустили перпендикуляры НК и НМ соответственно. а) Докажите, что треугольник МВК подобен треугольнику АВС. б) Найдите отношение площади треугольника МВК к площади четырехугольника АКМС, если ВН=2, а радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 4. Решение. а) Доказательство: 1) H AC, т.к. ABC остроугольный. В MBK и ABC B общий. 2) Рассмотрим четырехугольник ВКНМ. BKH BMH 180, значит около четырехугольника ВКНМ можно описать окружность. KHB KMB как опирающиеся на дугу КВ. 3) KBH и HBA - прямоугольные и ABH общий, значит, A KHB. 4) ABC MBK по двум углам, B общий и A KMB. Ч.т.д.

10 б) 1) Т.к. ABC остроугольный, то центр описанной окружности лежит внутри треугольника. Центр описанной окружности это точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника. 1 BAC BOC вписанный 2 центральный BOC равнобедренный, BO OC R ABC 4, OE медиана, высота, биссектриса, поэтому 1 EOC BOC. 2 Следовательно, EOC BAC BHK. 2) Прямоугольные треугольники KHB и EOC подобны по равному острому углу. BH KB 2 KB ; ; EC 2 KB. OC EC 4 EC 1 Но EC BC, поэтому BC 4KB. 2 2 KB 1 3) Т.к. ABC MBK, то k BC 4 и SMBK k S ABC SMBK S MBK. SAKMC S S ABC SMBK ABC S MBK Ответ: 1/15.

11 Тест 1 (база). Центральные и вписанные углы. Вариант Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна 1 длины окружности. 12 Ответ дайте в градусах. 2. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру 155, а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру 61. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. 3. Хорда AB делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 7 : 65. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах. 4. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 1: 3: 5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах. 5. AC и BD диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 79. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

12 6. В окружности с центром O AC и BD диаметры. Центральный угол AOD равен 130. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. 7. Найдите градусную меру дуги BC окружности, на которую опирается угол BAC. Ответ дайте в градусах. 8. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. 9. Угол ACB равен 56. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 134. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

13 Тест 1 (база). Центральные и вписанные углы. Вариант 2 1. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна 1 5 Ответ дайте в градусах. длины окружности. 2. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру 135, а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру 73. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. 3. Хорда AB делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 11: 61. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах. 4. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 1: 6:11. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах. 5. AC и BD диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 54. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

14 6. В окружности с центром O AC и BD диаметры. Центральный угол AOD равен 110. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. 7. Найдите градусную меру дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах. 8. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. 9. Угол ACB равен 42. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 124. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

15 Тест 2 (база). Вписанный четырехугольник. Вариант 1 1. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 26. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. 2. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 76, 101,106, 77. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. 3. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1: 3:15:17. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах. 4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70, угол CAD равен 49. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

16 5. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 39, угол CAD равен 55. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. 6. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 102, угол ABD равен 16. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. 7. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 16 и 33. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. 8. Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 2 : 3:16. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах. 9. Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 108. Найдите число вершин многоугольника.

17 Тест 2 (база). Вписанный четырехугольник. Вариант 2 1. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. 2. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95, 49, 71, 145. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. 3. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4 : 2 : 3: 6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах 4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105, угол CAD равен 35. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

18 5. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75, угол CAD равен 35. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. 6. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110, угол ABD равен 70. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. 7. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82 и 58. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. 8. Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 1: 2 : 3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах. 9. Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 168. Найдите число вершин многоугольника.

19 Ответы. Тест 1. Центральные и вписанные углы. Вариант 1 Вариант ,5 152, Тест 2. Вписанный четырехугольник Вариант 1 Вариант ,