Конспект урока по геометрии на тему"Объем поверхности цилиндра"

Что называется цилиндром, осью цилиндра, высотой цилиндра, радиусом цилиндра?

Что является разверткой боковой поверхности цилиндра?

Что является основанием цилиндра?

Вопросы для повторения:

Что называется цилиндром, осью цилиндра, высотой цилиндра, радиусом цилиндра?

Что является разверткой боковой поверхности цилиндра?

Что является основанием цилиндра?

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами O ( r ), ( r ), называется цилиндром .

Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью , а круги – основаниями цилиндра . Образующие цилиндрической поверхности называется образующими цилиндра ,

Прямая – ось цилиндра .

Все образующие цилиндра параллельны и равны.

Длина образующей называется высотой цилиндра , радиус основания – радиусом цилиндра.

Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и длине окружности основания.

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами O ( r ), ( r ), называется цилиндром .

Прямая – ось цилиндра.

Длина образующей называется высотой цилиндра.

радиус основания – радиусом цилиндра.

Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и длине окружности основания.

Круги – основания цилиндра

Введем определения призмы, вписанной в цилиндр, и призмы, описанной около цилиндра.

Определение: Призма вписана в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра.

Определение: Призма описана около цилиндра, если ее основания описаны около основания цилиндра

Определение: Призма вписана в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра

Определение: Призма описана около цилиндра, если ее основания описаны около основания цилиндра

Теорема: Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту

V=πr 2 h

Теорема : Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту

V=πr 2 h

Дано: цилиндр P , r — радиус и h – высота.

Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высотой h правильную n -угольную призму . Пусть – цилиндр радиуса , для которого является описанной призмой. Обозначим через V и объемы цилиндров Р и .

Так как объем призмы = * h ,

– площадь основания призмы ,

а цилиндр Р содержит призму , которая в свою очередь, содержит цилиндр , значит

< * h < V . (эс энное умноженное на аш больше вэ энного но меньше вэ) (1)

Будем неограниченно увеличивать число n . При этом радиус цилиндра стремится к радиусу r цилиндра P . Поэтому объем цилиндра стремится к объему цилиндра Р: (предел вэ энного при стремлении эн к бесконечности равен вэ)

Из неравенства < * h < V . следует, что и Но

(предел эс энного на аш при стремлении эн к бесконечности равен вэ, но предел эс энного равен пи на эр в квадрате)

V = πr 2 h

Дано: цилиндр, r – радиус, h – высота.

Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высотой h правильную n -угольную призму .

Пусть – цилиндр, – радиус, описанная призма для .

V и объемы цилиндров Р и .

Т.к. объем призмы = * h , – площадь основания призмы ,

а цилиндр Р содержится , а в содержится , то

Поэтому V n → V , т.е.

Из неравенства (1) следует, что и но

V = πr 2 h

Решение задач

Пусть V , r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите:

а) V , если r =2 h =3см;

Решение задач

Пусть V , r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите:

а) V , если r =2 h =3 см;

б) h , r = h , V =8π

Согласно изученной теореме, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объем цилиндра ищем по формуле: V = πr 2 h

Подставим в формулу данные в задаче значения и получим

б) Согласно изученной теореме, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объем цилиндра ищем по формуле: V = πr 2 h

Так как r = h , то формула будет иметь вид:

следовательно, извлекая из обеих частей формулы корень кубический и подставив в формулу данные в задаче значения объёма получим

Ответ: высота равна

Решение: V = πr 2 h

Решение: V = πr 2 h

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 45 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Дано: цилиндры, –объем 1-го сосуда, –объем 2-го сосуда, V 1 = V 2 , h 1 =45см, d 2 =3 d 1

Решение:

Пусть – это объем первого сосуда.

Пусть – это объем второго сосуда.

При переливании из одного сосуда в другой объем остается прежним, значит

Объем цилиндра вычисляем по формуле

V = πr 2 h .

Следовательно, объем первого цилиндра = πr 1 2 ∙45

Объем второго цилиндра равен = πr 2 2 h 2 ,

Таки образом, получим равенство:

πr 1 2 ∙45 = πr 2 2 h 2

Так как диаметр второго сосуда в 3 раза больше диаметра первого, то радиус второго сосуда тоже в три раза больше радиуса первого, значит r 2 =3 r 1

Тогда получим равенство

r 1 2 ∙45 = (3 r 1 ) 2 h 2

r 1 2 ∙45 = 9 r 1 2 h 2

Ответ: h 2 = 5см.

V = πr 2 h

= πr 1 2 ∙45

= πr 2 2 h 2

πr 1 2 ∙45 = πr 2 2 h 2

r 1 2 ∙45 = (3r 1 ) 2 h 2

r 1 2 ∙45 = 9r 1 2 h 2

Задача 3

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Найдите объем цилиндра, если объем конуса равен 42.

Дано: конус, илиндр, R –радиус ц. и к., h –высота ц. и к., =42

Пусть R - радиус круга, являющегося основанием как для цилиндра, так и для конуса объёмом V к , h - их общая высота. =42 Объём конуса ищется по формуле:

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

Следовательно, находим отношение объема цилиндра к объему конуса =3

Получили , выражаем отсюда объем цилиндра, то есть умножаем обе части формулы на объем конуса находим

, следовательно объем цилиндра равен 3 объемам конуса и равен 126.

• подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
• по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

• Сейчас обучается 918 человек из 81 региона

Курс профессиональной переподготовки

• Сейчас обучается 676 человек из 74 регионов

Курс повышения квалификации

• Курс добавлен 31.01.2022
• Сейчас обучается 54 человека из 26 регионов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

5 626 084 материала в базе

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

2.2. Объем цилиндра

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

• ЗП до 91 000 руб.
• Гибкий график
• Удаленная работа

• Геометрия
• 10 класс
• Конспекты

• Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
• Тема: 3.4. Объем конуса

• 03.10.2017
• 2444
• 54

• Геометрия
• 10 класс
• Рабочие программы

• Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

• 03.10.2017
• 870
• 0

• Геометрия
• 10 класс
• Рабочие программы

• Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

• 03.10.2017
• 1497
• 46

• Геометрия
• 10 класс
• Презентации

• Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
• Тема: 2.2. Скалярное произведение векторов

• 01.10.2017
• 1829
• 5

• Геометрия
• 10 класс
• Рабочие программы

• Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

• 01.10.2017
• 549
• 0

• Геометрия
• 10 класс
• Рабочие программы

• Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

• 01.10.2017
• 617
• 1

• Геометрия
• 10 класс
• Научные работы

• Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
• Тема: § 2. Конус

• 30.09.2017
• 1407
• 13

• Геометрия
• 10 класс
• Презентации

• Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
• Тема: 2. Аксиомы стереометрии

• 24.09.2017
• 1435
• 27

• Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
• Курс повышения квалификации «Подростковый возраст - важнейшая фаза становления личности»
• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
• Курс профессиональной переподготовки «Клиническая психология: теория и методика преподавания в образовательной организации»
• Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС технических направлений подготовки»
• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
• Курс повышения квалификации «Страхование и актуарные расчеты»
• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
• Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
• Курс профессиональной переподготовки «Разработка эффективной стратегии развития современного вуза»
• Курс повышения квалификации «Учебная деятельность по предметной области «Черчение»: основы предмета и реализация обучения в условиях ФГОС»
• Курс профессиональной переподготовки «Осуществление и координация продаж»

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

• 03.10.2017 959
• DOCX 598.5 кбайт
• 8 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Нелидина Маргарита Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

• На сайте: 5 лет и 5 месяцев
• Подписчики: 5
• Всего просмотров: 26836
• Всего материалов: 27

40%

• Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
• Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной переподготовки и повышения квалификации педагогов

Дистанционные курсы для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Ретроспектива сказки «Василиса Прекрасная»

Время чтения: 4 минуты

Школьникам, прибывшим из ДНР и ЛНР, выдадут аттестаты по итогам текущей успеваемости

Время чтения: 1 минута

Союз женщин Кузбасса попросил вернуть в школы политинформацию

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки создаст летние школы для педагогов и студентов-историков

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки запускает Ресурсный центр для развития карьеры студентов

Время чтения: 2 минуты

Финал конкурса «Лучшая инклюзивная школа России» пройдет в октябре в Москве

Время чтения: 1 минута

• Курсы «Инфоурок»
• Онлайн-занятия с репетиторами на IU.RU

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.