Задания по теме «Тригонометрические уравнения»

а) Решите уравнение 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left[ \frac2;\,3\pi \right].

а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Учитывая, что \cos x \neq 0, слагаемое 2 \sin x можно заменить на 2 tg x \cos x, получим уравнение 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.

1) 1-tg x=0, tg x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку \left[ \frac2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac3.

а) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac3, \frac3, \frac4.

Задание №1178

а) Решите уравнение (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt =0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left( 0;\,\frac2\right] ;

а) ОДЗ: \begin tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end

Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений

\left[\!\!\begin 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end\right.

Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Тогда \sin^24x=1-t^2. Получим:

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].

4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi +\frac2, n \in \mathbb Z.

Решим второе уравнение.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.

Знаком «+» отмечены 1 -я и 3 -я четверти, в которых tg x>0.

Получим: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi +\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac+\pi m, m \in \mathbb Z.

б) Найдём корни, принадлежащие промежутку \left( 0;\,\frac2\right].

а) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi +\pi n, n \in \mathbb Z; \frac+\pi m, m \in \mathbb Z.

Задание №1177

а) Решите уравнение: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку \left( \frac2;\,\frac2\right].

а) Так как \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, то \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению \cos^2x=\cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению \cos^2x-\cos ^2 2x=0.

Но \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) и

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot (\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Тогда либо 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, либо 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно \cos x, получаем:

(\cos x)_=\frac4=\frac4. Поэтому либо \cos x=1, либо \cos x=-\frac12. Если \cos x=1, то x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Если \cos x=-\frac12, то x=\pm \frac3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо \cos x=-1, либо \cos x=\frac12. Если \cos x=-1, то корни x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Если \cos x=\frac12, то x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Объединим полученные решения:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.

Получим: x_1 =\frac3, x_2=4\pi , x_3 =\frac3.

а) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

б) \frac3, 4\pi , \frac3.

Задание №1176

а) Решите уравнение 10\cos ^2\frac x2=\frac.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу \left( -2\pi ; -\frac2\right).

а) 1. Согласно формуле приведения, ctg\left( \frac2-x\right) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x , что \cos x \neq 0 и tg x \neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Получим уравнение: 5(1+\cos x) =\frac.

Заметим, что \frac= \frac= 5+\frac, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 \cos x=5 +\frac. Отсюда \cos x =\frac, \cos x+\sin x =\frac65.

2. Преобразуем \sin x+\cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left( x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

Отсюда \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac5. Значит, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

или x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Поэтому x=\frac\pi 4+arc\cos \frac5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

или x =\frac\pi 4-arc\cos \frac5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Найденные значения x принадлежат области определения.

б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=\frac\pi 4+arccos \frac5 и b=\frac\pi 4-arccos \frac5.

1. Докажем вспомогательное неравенство:

Заметим также, что \left( \frac5\right) ^2=\frac<1^2=1, значит \frac5<1.

2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:

Отсюда \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac5<\frac\pi 2,

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2\pi и b-2\pi.

\Bigg( a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac5\Bigg). При этом -2\pi <a-2\pi <-\frac2,

-2\pi <b-2\pi <-\frac2. Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку \left( -2\pi , -\frac2\right).

При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.

Действительно, если k\geqslant 1 и t\geqslant 1, то корни больше 2\pi. Если k\leqslant -2 и t\leqslant -2, то корни меньше -\frac2.

а) \frac\pi4\pm arccos\frac5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

б) -\frac4\pm arccos\frac5.

Задание №1175

а) Решите уравнение \sin \left( \frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; \pi ];

а) Преобразуем уравнение:

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;

x=(-1)^\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие отрезку [0; \pi ], найдём с помощью единичной окружности.

Указанному промежутку принадлежит единственное число \frac\pi 2.

а) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

б) \frac\pi 2.

Задание №1174

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ -\frac; -\frac2 \right].

а) Найдём ОДЗ уравнения: \cos 2x \neq -1, \cos (\pi +x) \neq -1; Отсюда ОДЗ: x \neq \frac \pi 2+\pi k,

k \in \mathbb Z, x \neq 2\pi n, n \in \mathbb Z. Заметим, что при \sin x=1, x=\frac \pi 2+2\pi k, k \in \mathbb Z.

Полученное множество значений x не входит в ОДЗ.

Значит, \sin x \neq 1.

Разделим обе части уравнения на множитель (\sin x-1), отличный от нуля. Получим уравнение \frac 1=\frac 1, или уравнение 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Применяя в левой части формулу понижения степени, а в правой — формулу приведения, получим уравнение 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Это уравнение с помощью замены \cos x=t, где -1 \leqslant t \leqslant 1 сводим к квадратному: 2t^2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=\frac12. Возвращаясь к переменной x , получим \cos x = \frac12 или \cos x=-1, откуда x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

б) Решим неравенства

1) -\frac2 \leqslant \frac3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi

3) -\frac2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac2 \leqslant \frac3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32 \leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac6 \leqslant 2m \leqslant -\frac56 , -\frac \leqslant m \leqslant -\frac5.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left [-\frac;-\frac5\right] .

2) -\frac 2 \leqslant -\frac3+2\pi n \leqslant -\frac, -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1, -\frac7 \leqslant n \leqslant -\frac1.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left[ -\frac7 ; -\frac1 \right].

3) -\frac2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Этому неравенству удовлетворяет k=-1, тогда x=-\pi.

а) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;