Определение напряжения и токов на элементах цепи до коммутации и после коммутации, а также на катушке индуктивности и конденсаторе при t 0, применяя классический метод, метод переменных состояния и метод эквивалентных источников

В линейной электрической цепи, находящейся под действием постоянного напряжения, происходит коммутация.

Найти все токи и напряжения на элементах цепи до коммутации и после коммутации. Построить их графики зависимости от времени.

РЕЗУЛЬТАТ

Токи до коммутации: .

Напряжения до коммутации:

Токи после коммутации: .

Напряжение после коммутации:

Метод переменных состояния.

Переменная состояния для данной цепи имеет вид:

, где . Определим численные значения , которые подставим в данную функцию.

По закону коммутации .

Составим уравнения цепи до коммутации, используя законы Кирхгофа:

Подставляя первое уравнение системы во второе, и используя третье уравнение, получим:

Из последнего уравнения системы выразим ток и подставим его в полученное уравнение, выразим :

3. Определение постоянной времени t.

Закоротим источники ЭДС, и определим эквивалентное сопротивление цепи относительно зажимов катушки.

4. Запишем окончательно найденное численное значение переменной состояния

Найдём с помощью дифференцирования напряжение на катушке в переходном процессе.

Расчет токов и напряжений после коммутации.

Запишем уравнения Кирхгофа:

Запишем решение данного дифференциального уравнения в общем виде:

Запишем характеристический многочлен.

Цепь питается от источника постоянного тока. Значит при в цепи устанавливается постоянный ток, и падение напряжение на катушке будет равно нулю. Таким образом всё напряжение источника будет приложено к резисторам R1 и R2. Поэтому ток в цепи после коммутации при установившемся режиме будет равен .

Для определения постоянной А запишем общее решение дифференциального уравнения, используя полученное значение тока в установившемся режиме:

Используем закон коммутации — непрерывность тока в момент коммутации, и найденное ранее значение , получим:

Запишем окончательно решение дифференциального уравнения:

При коммутации размыкается ветвь с сопротивлением R3, поэтому ток i3 после коммутации равен нулю. Таким образом получаем цепь с одним контуром, в которой токи i1 и i2 будут равны контурному току: .

Рассчитаем напряжения на резисторах после коммутации.

На выводах резистора R3 напряжение после коммутации будет равно нулю, так как после коммутации ветвь с резистором размыкается и ток в ветви , следовательно и .

Расчет токов и напряжений до коммутации.

Составим уравнения цепи до коммутации, используя законы Кирхгофа:

Подставляя первое уравнение системы во второе, и используя третье уравнение, получим:

Из последнего уравнения системы выразим ток и подставим его в полученное уравнение, выразим :

Из последнего уравнения системы получим:

По первому уравнению системы найдём ток :

Расчёт напряжений на резисторах до коммутации.

Напряжение на катушке до коммутации равно нулю, так как в установившемся режиме на постоянном токе сопротивление катушки носит чисто активный характер, а активное сопротивление катушки .

Вариант № 24

В цепи, находящейся под действием постоянного тока, происходит коммутация в момент времени t=0. Определить напряжения и токи на катушке индуктивности и конденсаторе при t<0, t=0, t>0, применяя:

метод переменных состояния,

метод эквивалентных источников.

Построить графики определённых в расчёте величин.

Ток на конденсаторе до коммутации:

Напряжение на катушке до коммутации:

РЕШЕНИЕ

Расчёт переменных состояния до коммутации.

Ток iC на конденсаторе до коммутации равен нулю, так как конденсатор в установившемся режиме на постоянном токе представляет разрыв цепи.

Напряжение на катушке до коммутации равно нулю, так как в установившемся режиме на постоянном токе сопротивление катушки носит чисто активный характер, а активное сопротивление катушки .

Расчёт переменных состояния в установившемся режиме.

Формирование уравнений состояния по методу переменных состояния.

Составим систему уравнений для цепи после коммутации, используя уравнения Кирхгофа:

Запишем в этой системе ток на конденсаторе и напряжение на катушке через переменные состояния.

Из третьего уравнения системы выразим ток на резисторе R2: , подставим это выражение в первое и второе уравнения системы, получим:

Разрешим полученные уравнения относительно производных.

Подставим в систему дифференциальных уравнений численные значения R1, R2, L, C, u0.

Формирование уравнений состояния с помощью эквивалентных источников.

Заменим динамические элементы в схеме после коммутации эквивалентными источниками: катушки индуктивности — источниками тока, конденсаторы — источниками ЭДС. Получим резистивную цепь.

Выразим напряжение uL и ток конденсатора iC через параметры элементов схемы. Структура схемы позволяет воспользоваться принципом наложения. Найдём напряжение uL и ток конденсатора iC при действующим в цепи источнике: