МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ТЕМЕ « ДВУГРАННЫЙ УГОЛ »
Одной из основных тем стереометрии является тема « Двугранный угол».
Несмотря на то, что понятия двугранного угла и его линейного угла учащиеся устанавливают легко, возникает много трудностей при решении стереометрических задач. Анализ этих затруднений показал, что это связано с недостаточной сформированностью навыка изображения линейных углов. Чтобы преодолеть эти проблемы , необходима определенная система задач.
Тема : « Двугранный угол , решение задач по теме » .
Цель : Сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями. Отработать определение двугранного угла.
2. Теоретический материал по теме « Двугранный угол »
Углом на плоскости мы называем фигуру, образованную двумя лучами , исходящими из одной точки. В стереометрии наряду с такими углами рассматривается еще один вид углов – двугранные углы. Чтобы ввести понятие двугранного угла, напомним, что любая прямая , проведенная в данной плоскости , разделяет эту плоскость на две полуплоскости.
Рисунок 1 – Прямая а разделяет плоскости на две полуплоскости.
Представим себе, что мы перегнули плоскость по прямой а так, что две плоскости с границей а оказались уже не лежащими в одной плоскости.
Рисунок 2 – Двугранный угол
Полученная фигура и есть двугранный угол.
Таким образом, можно дать такое определение двугранного угла : двугранным углом называется фигура , образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а , не принадлежащими одной плоскости.
Полуплоскости, образующие двугранный угол, называется его гранями.
У двугранного угла две грани, отсюда и название – двугранный угол. Прямая а – общая граница полуплоскостей – называется ребром двугранного угла.
В обыденной жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющие форму двугранного угла. Такими предметами являются двускатные крыши зданий, полураскрытая папка, стена комнаты совместно с полом и т.д.
Мы знаем, что углы на плоскости ( обычные углы ) измеряются в градусах. А как измеряются двугранные углы? Это делается следующим образом. Отметим на ребре двугранного угла какую – нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла.
Равенство и неравенство двугранных углов.
Два двугранных угла считаются равными, если они при вложении могут совместиться; в противном случае тот из углов , который составит часть другого угла , считается меньшим.
Можно рассматривать сумму , разность , произведение и частное двугранных углов в том же смысле , как и для углов планиметрии. Подобно этим углам, двугранные углы могут быть смежные и вертикальные.
Если два смежных двугранных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым двугранным углом.
1. Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.
2. Большому двугранному углу соответствует больший линейный угол.
Обратные теоремы :
1. Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.
2. Большому линейному углу соответствует больший двугранный угол.
1. Прямому двугранному углу соответствует прямой линейный угол и обратно.
2. Все прямые двугранные углы равны.
3. Вертикальные двугранные углы равны.
4. Двугранные углы с соответственно параллельными и одинаково ( или противоположно ) направленными гранями равны.
5. Двугранный угол измеряется его линейным углом.
Построение линейного угла двугранного угла.
ВК – наклонная к α;
ВСО – линейный угол двугранного угла ВАСО
ВКО - линейный угол двугранного угла ВАСО
3.Тесты – тренажеры.
Включает в себя задачи на доказательство того, что отмеченный на рисунке угол является линейным.
1. SABCD –пирамида; S В ( АВС ) ; ВР DC .
Доказать, что угол S РВ – линейный угол двугранного угла с ребром CD .
2. SABC - пирамида ; угол АСВ = 90 º; S В ( АВС ).
Доказать, что угол SC В- линейный угол двугранного угла с ребром АС.
3. SABC – пирамида; АВ = ВС; D – середина отрезка АС; S В ( АВС ).
Это задачи на выделение линейного угла среди обозначенных на рисунке углов.
1. SABC – пирамида , основание которой – правильный треугольник . Какой из отмеченных углов является линейным углом двугранного угла с ребром АС, если :
а) Е – середина отрезка АС ( рисунок 4 ), прямая S В ( АВС )
б) К – середина отрезка АС ( рисунок 5 ), О N ||ВК и S О ( АВС ).
2. S АВС – пирамида , D – середина отрезка АС, SB (АВС)
Каким должен быть треугольник АВС, чтобы линейный углом двугранного угла с ребром АС являлся угол SDB ; угол SAB ; угол SKB ?
Рисунок 4 Рисунок 5
(Задачи на построение линейного угла данного двугранного угла).
1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС, если в пирамиде SABC :
а) АВ=ВС ; S В ( АВС ) ( рисунок 7 )
б) грань ( АВС ) – правильный треугольник, О - точка , пересечения медиан прямая SO ( АВС ) ( рисунок 8 )
в) грань ( АВС ) – правильный треугольник, О – середина отрезка АВ, SO ( АВС ) ( рисунок 9)
2. Дан прямоугольник АВС D и точка S не лежит в его плоскости.
Построить линейный угол двугранного угла с ребром CD , если :
б) точка О принадлежит отрезку АВ, прямая SO ( АВС ) ( рисунок 11)
в) О – точка пересечения диагоналей, SO ( АВС ) ( рисунок 12)
3. Дан ромб ABCD , SC ( ABC )
Построить линейный угол двугранного угла с ребром В D ( рисунок 13 ).
4. а) ABCD – трапеция ; угол BAD =90º; S В ( АВС ) (рисунок 14 )
б) ABCD – трапеция ; угол BAD =90º ; точка О принадлежит отрезку ВС, S О ( АВС ) ; ( рисунок 15 )
в) ABCD – равнобедренная трапеция , S В ( АВС ); ( рисунок 16 ).
Построить линейный угол двухгранного угла с ребром AD .
Рисунок 16 Рисунок 17
( Задачи вычислительного характера )
1. Дана пирамида SABC . Найти величину двугранного угла с ребром АС, если :
а) SB ( АВС ) ; угол С = 90 º ; ВС = SB = 6см. ; ( рисунок 18)
б) прямая SB ( АВС ) ; АВ = ВС = 10 см.; SB = АС = 12см.;
в) грань ( АВС ) – правильный треугольник; АВ = 6 см. ; О –точка пересечения медиан, SO ( АВС ) ; SO =4см.; (рисунок 8 )
г) грань АВС – правильный треугольник; О – середина отрезка АВ ; АВ = 6см.; SO ( АВС ) ; SO = 9 см.; ( рисунок 9)
2. АВС D – прямоугольник, BD =4√3 см. Прямая SB ( АВС ), SB =6см.; двугранный угол с ребром DC =60º. Найти стороны прямоугольника.
3. АВС D – прямоугольник; его площадь 48см 2 . DC = 4 см. ;
OS =6см. Найти величину двугранного угла с ребром DC
4. АВС D – ромб, В D =8см.; SC ( АВС ) , SC = 16 см, двугранный угол с ребром В D = 45º. Найти площадь ромба ( рисунок 13 ).
5. В параллелограмме АВС D угол А DC =150º, А D =16см, С D =12см.;
SC ( АВС ), SC =18см., ( рисунок 19). Найти величину двугранного угла с ребром AD и площадь параллелограмма.
Эти четыре тренажера выступают в роли тестов.
4 Алгоритм решения задач по теме
Δ АВС ; ∠ С = 90 º;
Угол между ВС и α = 30 º
Найти двугранный угол с ребром АВ.
1. Строим линейный угол двугранного угла с ребром АВ.
СО α ; CD – наклонная к плоскости α;
OD АВ ( по построению );
СВ АВ ( по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно ∠ С D О – линейный угол двугранного угла с ребром АВ ).
∠ СВО – угол наклона ВС к плоскости α.
Рассмотрим ΔСОВ : ∠ В=30 º ; СВ = 2а ( свойство катета, лежащего против угла в 30 º).
Рассмотрим Δ ACD : S Δ = 0,5*АС*СВ = 0,5*2а*2а=2а 2
АВ =√АС 2 +СВ 2 = √4а 2 +4а 2 = √8а 2 = 2а√2
Ответ : ∠ CDO =45º
Найти : 1. Угол между ( ВМС) и ( АВС )
2.Угол между МС и (АВС)
Так как точка М равноудалена от всех сторон треугольник АВС , то ее проекцией на плоскость ( АВС ) является центр вписанной окружности, следует ОК= ON = OL = r ;
ОК ВС ( радиус , проведенный в точку касания) ; ОМ ( АВС );
МК – наклонная к ( АВС ) ;
ОК = пр. ( АВС ) МК ; ОК ВС следует, что МК ВС следует ,что ∠ МКО – линейный угол двугранного угла МСВО.
2)Рассмотрим Δ МОК ;
3) Угол между МС и плоскостью ( АВС ) равен углу МСО.
Ответ : ∠ МКО= 60º;
5. Варианты заданий для самостоятельной работы
1) Дан прямоугольник АВС D и точка S не лежит в его плоскости. Построить линейный угол двугранного угла с ребром DC , если :
О – точка пересечения диагоналей, SO ( АВС ).
2) Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ1. Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α, если АВ =2 см.; ∠ ВАС = 150º ; и двугранный угол ВАСВ1 = 45 º.
1) ABCD - ромб; BD =8см; двугранный угол с ребром BD = 45º. Найти площадь ромба.
2) В параллелограмме ABCD ∠ А DC =150º; А D =16см; DC =12см; SC ( АВС ); SC =18см. Найти величину двугранного угла с ребром AD и площадь параллелограмма.
1) Дан куб ABCD А1В1С1 D 1; ( ABCD – нижнее основание ). Найдите величину угла между плоскостью грани АВВ1А1 куба и плоскостью, проходящего через диагональ АВ1 этой грани и середину ребра DC куба.
2) Плоскость α проходит через сторону АС треугольника АВС под углом 30º к плоскости треугольника. Найти расстояние от вершины В до плоскости α, если ВС = 6 см; ∠ С=120º.
1) В тетраэдре DABC все ребра, кроме АВ, имеют равные длины. ∠ АСВ=90º. Найдите величину двугранного угла при ребре ВС.
2) Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BACD =90º. Найдите сторону ромба, если ∠ BAD =45º и расстояние от точки В до плоскости ADM = 4√3см.
1) Найти величину двугранного угла с ребром АС, если:
а) BS ( ABC ); ∠ C =90º; BC = BS =6см.
б) BS ( ABC ); АВ=ВС=10см; BS =АС=12см.
2) ABCD – прямоугольник . S =48см 2 ; DC =4см; OS (АВС); OS =6см. найти величину двугранного угла с ребром DC .
1) Дан прямоугольник ABCD и точка S не лежит в его плоскости. Построить линейный угол двугранного угла с ребром DC если : SB (АВС); О – точка пересечения диагоналей, прямая SO (АВС).
2) Точка М равноудалена от всех сторон правильного треугольника АВС, сторона которого 4см. Расстояние от точки М до плоскости ( АВС ) равно 2 см. Найдите угол между плоскостью ( ВМС ) и плоскостью ( АВС ) и угол между МС и плоскостью ( АВС ).
6. Решение стереометрических задач на тему « Двугранный угол »
1) Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCD A 1 B 1C1D1 является квадратом со стороной 3, а пространственная диагональ параллелепипеда равна . Найдите угол между плоскостью A 1 B 1 C 1 D 1 и плоскостью ADC 1
Дано: - прямоугольный параллелепипед
Найти угол между плоскостями ( A 1 B 1 C 1 D 1) и ( ADC 1)
Двугранный угол С1 ADC . Строим его линейный угол. ; - наклонная к плоскости ; (стороны квадрата) по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах , значит - линейный угол двугранного угла .
2) Диаметр и хорда AB основания конуса равны соответственно 26 и 24, тангенс угла между образующей и основанием конуса равен 8. Найдите тангенс угла между плоскостью основания конуса и плоскостью сечения конуса, проходящей через вершину конуса и хорду AB .
Дано: SAC – конус
3) Основание прямой призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – ромб ABCD со стороной, равной 7. Площадь ромба равна 28. Тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью ABC 1 равен 2,75. Найдите длину бокового ребра призмы.
Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольная призма
1) Проведём тогда (по теореме о трёх перпендикулярах), тогда - линейный угол двухгранного угла C 1 ABC .
4) Высота прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 с основанием ABC равна 12. Угол между прямыми BC 1 и AC равен 90º , а синус угла между прямыми A 1 B и AC равен . Найдите тангенс угла между плоскостью BC 1 A и плоскостью ABC , если A 1 B равно 13.
ABCA 1 B 1 C 1 – прямая призма
Прямые DC 1 и AC – скрещивающиеся.
Прямые A 1 B и AC – скрещивающиеся.
Двугранный угол C 1 ABC . Строим его линейный угол.
C 1 K – наклонная;
(по построению) по теореме о трёх перпендикулярах - линейный угол двугранного угла .
7. Задания для самостоятельной работы
1) Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые грани составляют с плоскостью основания равные углы, причем их тангенс равен 3.Найдите объём пирамиды.
2) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки K и F - середины ребер SB и SC соответственно. Сторона основания пирамиды равна 2√3, боковое ребро равно √79. Найдите угол между плоскостью AKF и плоскостью основания пирамиды.
3) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S точки M и N - середины ребер SA и SB соответственно. Сторона основания пирамиды равно 4∕3 апофема 2√10∕3. Найдите угол между плоскостью MNC основания пирамиды.
4) В правильной треугольной пирамиде ABCD боковое ребро в 1,5 раза длиннее, чем сторона основания ABC . Точки K и M делят пополам ребра AD и CD соответственно. Найдите синус угла между плоскостями ACD и BKM .
5) В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания равна боковому ребру. Точка M делит ребро DC пополам, K - середина BC . Найдите синус угла между плоскостью AKM и плоскостью ABC.
6) Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Плоскость, проведенная через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, образует угол, равный 60°, с плоскостью основания, а полученное сечение имеет площадь 5√3. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
7) Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 является квадратом со стороной 2,а пространственная диагональ параллелепипеда равна 2√5. Найдите угол между плоскостью A 1 B 1 C 1 D 1 и плоскостью ADC 1.
8) В прямоугольном параллелепипеде ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 известны длины ребер: AB =3, AD =4, CC 1=9. Найдите угол между плоскостями ABC и A 1 DB .
9) В прямоугольном параллелепипеде ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 известны длины ребер:
AB =12, AD =16, CC 1=9. Найдите угол между плоскостями BDD 1 и AB 1 D 1.
8. Литература
1. Электронный учебник « Стереометрия. 10-11 классы »
2. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов « Геометрия 10-11 классы» - Москва, Просвещение,2000
3. С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов « Изучение геометрии 10-11 классы» - Москва, Просвещение,2003
4. Л.С. Атанасян « Поурочные планы по геометрии 10 класс» - издательство «Учитель »
5. Н.Г.Федин, С.Н. Федин « Геометрия. Учебное пособие для техникумов» - Москва , Высшая школа,1989
6. А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев « Геометрия » - Москва, Наука,1990
7. Г.Н. Яковлев « Геометрия» Москва, Наука, 1982
8. «Задачи по геометрии с комментариями и решениями » - перевод с французского,Москва,Мир,1989