Белая функция или квадратичный косинус «наступает»
Задача: Найти функцию для графика (бесконечного в обе стороны оси ОХ):
Ограничения: Должны использоваться только тригонометрические функции (любые прямые и обратные) и знаки операций плюс, минус, разделить, умножить, модуль. Решение должно быть представлено одной формулой.
Подсказка: Раздумывая над этой задачей, мне попалось на глаза видео о так называемой квантовой запутанности фотонов. Я подумал, что фотон все же в большей мере волна, чем частица, поскольку частицей он определяется при определенных условиях, связанных с измерением состояния фотона, в остальных случаях — это волна. А где волна там обязательно должны быть тригонометрические функции косинуса и синуса, как минимум. Поэтому я подумал, что скорей всего вполне возможно, что есть вероятность создать «запутанную пару» от аргумента x для какой-то неизвестной функции с использованием только тригонометрических функций. Как ни странно, но именно поиск этой неизвестной функции, привел меня к решению поставленной выше задачи.
Некоторые люди на форуме говорили мне, что решения этой задачи не может существовать, поскольку квадратное и круглое друг другом не представляется (как я это понял), но немного поэкспериментировав с построением графиков на WolframAlpha, решил, что это в корне неправильный подход. Как потом выяснилось, все дело как раз в «квантовой запутанности». Но обо всём по порядку.
Как смоделировать запутанность? У нас есть прямые и обратные тригонометрические функции, есть переменная x-фотон и несколько тривиальных операций. Первое что приходит на ум (по крайне мере мне) это рассмотреть графики функций ArcSin[Cos[x]] и ArcCos[Sin[x]]:
Приведенные графики уже очень напоминают нужный нам «квадратичный косинус», но чего-то не хватает, оказывается не хватает «запутанности», то что мы сделали — это по сути запутанность первого уровня, но этого не достаточно, нужно эти две функции как-то скомпоновать, выйдя на запутанность второго уровня. После нескольких экспериментов с доступными тривиальными операциями я остановился на делении и вот что получилось (рис. 4):
Именно здесь я понял, что не потерялся в запутанности x-фотона и все как раз проясняется. Казалось бы, наполовину задача решена и остается тупо скопировать решение в две формулы вида:
Но мне хотелось всё представить одно формулой и поиски продолжились…
Поэтому пришлось анализировать график, представленный на рис.4. Что в нем примечательного? Во-первых, наполовину квадратичность присутствует, но нужно избавиться от этих восходящих линий. Как этого добиться? Только «аннигиляцией», то есть самоуничтожением противоположностей. И как раз здесь нам и понадобится модуль, чтобы у нас были симметричные плавно восходящие и нисходящии линии. Поэтому я рассмотрел такой график:
Казалось бы, маленькое отличие — модуль, но большая разница — теперь мы имеем симметричные (относительно начала координат) восходящие и нисходящии линии, которые достаточно «сложить» и они превратятся в квадрат… Но складывать их не нужно, достаточно еще одного модуля уровнем выше:
Что и требовалось доказать.
Эту функцию я назвал "белая функция", поскольку она настолько же идеальна и гармонична, как и белый цвет. Белая функция представляет собой сложную функцию-модель квантово-запутанной саму с собой пару от аргумента x. Белая функция к тому же определяет собой целый класс одноименных тригонометрических функций вида , например, к этому виду можно также отнести функцию и т.д.
Исходники в формате Wolfram Mathematica — yadi.sk/d/3pl0lZMH3PzxCU
Для оценки точности я решил посчитать для белой функции площадь под графиком в окрестности точки Pi/2 с отрицательной стороны. И вот что получилось:
Здесь я думаю меня сочтут полным профаном, но я всё таки скажу, что это означает. Очевидно по результату в пределе действительная часть стремится к бесконечность, а мнимая к нулю то есть ∞+0.0*i Что это может означать? Какой смысл в действительной части и мнимой? Я думаю, что действительная часть пропорциональна точности (в чем легко убедиться увеличивая количество нулей в формуле выше для приближения к точке Pi/2), а мнимая часть пропорциональна погрешности вычисления и эта погрешность стремиться к нулю в пределе.
Посему заключаем, что найденная формула белой функции делает возможным расчет с управляемой точностью, что не может не радовать. Но как такое возможно? Ответа у меня нет — думайте своей головой.
Проблема в комментариях рассматривается достаточно подробно, но особое место в вопросе белой функции занимает точка Pi/2, фольфрамальфа рисует это так:
Но нужно понимать, что это приближение, идеально в пределе там вертикальная линия и разрыва нет:
дорисовано красным то, что компьютер не может рассчитать! Интересно, что в точках состыковки синего и красного y=+-Sqrt[2]/2
Очевидно, эти способы не идут не в какое сравнение с найденным решением по точности и производительности, нет необходимости в сложении сотен косинусов, как это делает ряд Фурье.
PS В комментариях найдено еще одно решение с помощью комплексных чисел и числа E: Cos[Arctan[E^(I*x)]]/Sin[Arcctg[E^(I*x)]], которое с большой точностью даёт решение.