Движение электрона в равномерном магнитном поле

Движение электрона в равномерном магнитном поле, неизменном во времени и направленном перпендикулярно скорости. Под заряженной частицей мы будем подразумевать электрон. Заряд его обозначим q =- q э и массу m . Заряд примем равным q э =1,601 . 10 -19 Кл, при скорости движения, значительно меньшей скорости света, масса m =0,91 . 10 -27 г. Допустим, что электрон движется в достаточно высоком вакууме, так что при движении электрон не сталкивается с другими частицами. На электрон, движущийся со скоростью в магнитном поле индукции , действует сила Лоренца

Учтем, что заряд электрона отрицателен, и скорость его направлена по оси y , а индукция по оси- x . Сила направлена перпендикулярно скорости и является центробежной силой. Она изменяет направление скорости, не влияя на числовое значение (см. рис.1)

Электрон будет двигаться по окружности радиусом r с угловой частотой, которую называют циклотронной частотой . Центробежное ускорение равно силе f , деленной на массу

Движение электрона в неизменном во времени магнитном поле, когда скорость электрона не перпендикулярна силовым линиям

Рассмотрим два случая:

а) Движение в равномерном поле. На рис 2. обозначен угол между скоростью электрона и индукцией . Разложим на , направленную по и численно равную , и на , направленную перпендикулярно и численно равную . Так как , то наличие составляющей скорости не вызывает силы воздействия на электрон. Движение со скоростью приводит к вращению электрона вокруг линии подобно тому, как это было рассмотрено в первом пункте. В целом электрон будет двигаться по спирали. Осевой линией которой является линия магнитной индукции. Поступательное и одновременно вращательное движение называют дрейфовым движением. Радиус спирали шаг спирали

б) Движение в неравномерном поле. Если магнитное поле неравномерно, например сгущается ( рис.2 в.), то при движении по спирали электрон будет попадать в точки поля, где индукция В увеличивается. Но чем больше индукция В, тем при прочих равных условиях меньше радиус спирали r . Дрейф электрона будет происходить в этом случае по спирали со всем уменьшающимся радиусом. Если бы

магнитные силовые линии образовывали расходящийся пучок, то электрон при своем движении попадал бы в точки поля со все уменьшающейся индукцией и радиус спирали возрастал бы

Фокусировка пучка электронов по¬стоянным во времени магнитным полем (магнитная линза)

Из катода электронного прибора (рис. 3) выходит расходящийся пучок электронов. Со скоростью электроны входят в неравномерное магнитное поле узкой цилиндрической катушки с током

Разложим скорость электрона в произвольной точке т на две составляю¬щие: и

Первая направлена противоположно , а вторая -перпендикулярно . Возникшая ситуация повторяет ситуацию, рассмотренную в пункте 2. Электрон нач¬нет двигаться по спирали, осью которой является . В результате электронный пучок фокусируется в точке b .

Движение электронов в равномерном электрическом поле. Принцип работы электронного осциллографа

Электрон, пройдя расстояние от катода К до узкого отверстия в аноде А (рис. 4, а), под действием ускоряющего напря¬жения U ак увеличивает свою кинетическую энергию на величину работы сил по¬ля

Скорость с которой электрон будет двигаться после выхода в аноде из отверстия 0, найдем из соотношения

При дальнейшем прямолинейном движении по оси х электрон попадает в равномерное электрическое поле, напряженностью Е между отклоняющими пластинами 1 и 2 (находятся в плоскостях, параллельных плоскости z ох ).

Напряженность Е направлена вдоль оси у . Пока электрон движется между от¬клоняющимися пластинами, на него действует постоянная сила Fy = — q э E . направленная но оси —у . Под действием этой силы электрон движется вниз рав¬ноускоренно, сохраняя постоянную скорость вдоль оси х . В результате в про¬странстве между отклоняющими пластинами электрон движется по параболе. Когда он выйдет из поля пластин 1—2. в плоскости уох он будет двигаться по касательной к пара¬боле. Далее он попадает в поле пластин 3—4 , которые создают развертку во времени. Напряже¬ние U 31 между пластинами 3—4 и напряженность поля между ними E 1 линейно нарастают во времени (рис. 4, б). Электрон получает отклонение в направлении оси z , что и даст развертку во времени

Фокусировка пучка электронов постоянным во времени электриче¬ским полем (электрическая линза)

Фокусировка основана на том что, проходя через участок неравномерного электрического поля, электрон отклоняется в сто¬рону эквипотенциали с большим значением потенциала (рис. 5, а). Электриче¬ская линза образована катодом, испускающим электроны, анодом, куда пучок электронов приходит сфокусированным, и фокусирующей диафрагмой, пред¬ставляющей собой пластинку с круглым отверстием в центре (рис. 5, б). Диа¬фрагма имеет отрицательный потенциал по отношению к окружающим ее точ¬кам пространства, вследствие этого эквинотенциали электрического поля как бы выпучиваются через

диафрагму по направлению к катоду. Электроны, проходя через отверстие в диафрагме и отклоняясь в сторону, фокусируются на аноде

Движение электрона в равномерных, взаимно перпендикулярных, неизменных во времени магнитном и электрическом полях

Пусть электрон с зарядом q = — q э , и массой т с начальной скоростью оказался при t = 0 в начале, координат (рис. 6, а) в магнитном и электрическом полях. Магнитная индукция направлена по оси т. е. B x = B . Напряжен¬ность электрического поля направлена по оси , т. е. . Дви¬жение электрона будет происходить в плоскости zoy со скоростью

Уравнение движения или

В соответствии с формулой (2) заменим q э B / m на циклотронную частоту ? ц . Тогда

Продифференцируем (4) по t и в правую часть уравнения подставим (5)

Решим уравнение классическим методом: v y = v y пр + v y св :

Составим два уравнения для определения постоянных интегрирования

Так как при t =0 v y = v , то . При t =0 v z =0. Поэтому или . Отсюда и

Пути, пройденные электроном по осям у и z :

На рис. 6, б, в, г изображены три характерных случая движения при различных значениях v 0 . На рис. 6, б трохоида при v 0 =0, максимальное от¬клонение по оси z равно .

Если v 0 >0 и направлена по оси + y , то траекторией является растянутая

трохоида (рис. 6, в) с максимальным отклонением

Если v 0 <0 и направлена по оси —у, то траекторией будет сжатая трохоида (рис. 6, г) с

Когда магнитное и электрическое поля мало отличаются от равномерных, траектории движения электронов близки к трохоидам

Движение заряженных частиц в кольцевых ускорителях

Циклотрон - это две полые камеры в виде полуцилиндров из проводящего неферромагнитного материала. Эти камеры находятся в сильном равномерном маг¬нитном поле индукции , направленном сверху вниз (рис. 7). Камеры по¬мещают в вакуумированный сосуд и присоединяют к ис¬точнику напряжения U m cos ( t ). При t =0, когда напряжение между камерами имеет максимальное значение, а потенциал левой камеры положителен по отношению к правой, в пространство между камерами вводят положительный заряд q . На него будет действовать сила . Заряд начнет двигаться слева направо и с начальной скоростью пойдет и правую камеру. Внутри камеры напряжен¬ность электрического поля равна нулю. Поэтому, пока он находится там, на не¬го не действует сила , но действует сила , обусловленная магнитным полем. Под действием этой силы положительный заряд, двигающийся со скоростью v , начинает

движение по окружности радиусом . Время, в течение которого он совершит пол-оборота, .

Если частоту приложенного между камерами напря¬жения взять равной , то к тому времени, когда заряд выйдет из правой камеры, он окажется под воздействием электрического поля, на¬правленного справа налево. Под действием этого поля заряд увеличивает свою скорость и входит в левую камеру, где совершает следующий полуоборот, но уже большего радиуса, так как имеет боль¬шую скорость. После k полуоборотов заряженная частица приобретает такую скорость и энергию, ка¬кую она приобрела бы, если в постоянном электриче¬ском поле пролетела между электродами, раз¬ность потенциалов между которыми kU m Вывод заряда из циклотрона осуществляется с помощью постоянного электрического поля, созда¬ваемого между одной из камер (на рис. 7 пра¬вой) и вспомогательным электродом . С увеличением скорости , она становится соизмеримой со скоростью света. Масса частицы во много раз увеличивается. Возрастает и время t 1 , прохождения полуоборота. Поэтому одновременно с увеличением скорости частицы необходимо уменьшать либо частоту источника напряжения U m cos ( t ) (фазотрон), либо величину индукции магнитного поля (синхротрон), либо частоту и индукцию (синхрофазотрон)