Движение электрона в тормозящем поле
Пусть начальная скорость электрона v0 противоположна по направлению силе F, действующей на электрон со стороны поля.
Электрон вылетает с некоторой начальной скоростью из электрода с более высоким потенциалом. Так как сила F направлена навстречу скорости v0 то электрон тормозится и движется равнозамедленно. Поле в этом случае называют тормозящим. Энергия электронов в тормозящем поле уменьшается, так как работа совершается не полем, а самим электроном, который преодолевает сопротивление сил поля. Таким образом, в тормозящем поле электрон отдает энергию полю.
Если начальная энергия электрона равна еU0 и он проходит в тормозящем поле разность потенциалов U, то его энергия уменьшается на еU. Когда , электрон пройдет все расстояние между электродами и ударит в электрод с более низким потенциалом. Если же , то, пройдя разность потенциалов U0, электрон потеряет всю свою энергию, скорость его станет равна нулю и он начнет ускоренно двигаться обратно. Таким образом, электрон совершает движение, подобное полету тела, брошенного вертикально вверх.
Движение электрона в однородном поперечном поле
Если электрон вылетает с начальной скоростью v0 под прямым углом к направлению силовых линий поля то поле действует
На электрон с силой F, направленной в сторону более высокого потенциала. При отсутствии силы F электрон совершал бы равномерное прямолинейное движение по инерции со скоростью v0.А под действием силы F электрон должен равноускоренно двигаться в направлении, перпендикулярном v0.Результирующее движение происходит по параболе, причем электрон отклоняется в сторону положительного электрода. Если электрон выйдет за пределы поля, как показано на рисунке, то дальше он будет двигаться по инерции прямолинейно и равномерно. Это подобно движению тела, брошенного с некоторой начальной скоростью в горизонтальном направлении. Под действием силы тяжести такое тело при отсутствии воздуха двигалось бы по параболической траектории.
Электрическое поле всегда изменяет в ту или другую сторону энергию и скорость электрона. Таким образом, между электроном и электрическим полем всегда имеется энергетическое взаимодействие, т. е. обмен энергией. Скорость электрона при ударе об электрод определяется только начальной скоростью и пройденной разностью потенциалов между конечными точками пути.
Движение электронов в однородном магнитном поле
Рассмотрим движение электрона в однородном магнитном поле. Когда неоднородность поля незначительна или когда нет необходимости в получении точных количественных результатов, можно пользоваться законами, установленными для движения электрона в однородном поле.
Пусть электрон влетает в однородное магнитное поле с начальной скоростью v0, направленной перпендикулярно магнитным силовым линиям (рис. В этом случае на движущийся электрон действует сила Лоренца F, которая перпендикулярна вектору v0 и вектору магнитной индукции В:
Как видно, при v0 = 0 сила F равна нулю, т. е. на неподвижный электрон магнитное поле не действует.
Сила F искривляет траекторию электрона в дугу окружности. Поскольку сила F действует под прямым углом к скорости v0, она не совершает работы. Энергия электрона и его скорость не изменяются, а изменяется лишь направление скорости. Известно, что движение тела по окружности (вращение) с постоянной скоростью происходит благодаря действию направленной к центру (центростремительной) силы, т. е. силы F.
Направление движения электрона в магнитном поле удобно определять по следующим правилам. Если смотреть в направлении магнитных силовых, линий, то электрон движется по часовой стрелке. Или иначе: поворот электрона совпадает с вращательным движением винта, который ввинчивается в направлении магнитных силовых линий.
Определим радиус r окружности, описываемой электроном. Для этого воспользуемся, выражением для центростремительной силы, известным из механики,
и приравняем его значению силы F по формуле (14):
Теперь из этого уравнения можно найти радиус:
Чем больше скорость электрона v0, тем сильнее он стремится к прямолинейному движению по инерции и тем больше радиус траектории. С увеличением В растет сила F, искривление траектории усиливается и радиус уменьшается.
Выведенная формула справедлива для частиц с любой массой и зарядом.
Чем больше масса, тем сильнее стремится частица лететь по инерции прямолинейно, т. е. радиус r становится больше. А чем больше заряд, тем больше сила F и тем сильнее, искривляется траектория, т. е. ее радиус становится меньше. Выйдя за пределы магнитного поля, электрон дальше летит по инерции прямолинейно. Если же радиус траектории мал, то электрон может описывать в магнитном поле замкнутые окружности.
Рассмотрим более общий случай, когда электрон влетает в магнитное поле под любым углом. Выберем координатную плоскость так, чтобы вектор начальной скорости электрона v0 лежал в этой плоскости и чтобы ось х совпадала по направлению с вектором В.
Разложим v0 на составляющие и . Движение электрона со скоростью . эквивалентно току вдоль силовых линий. Но на такой ток магнитное поле не действует, т. е. скорость . не испытывает никаких изменений. Если бы электрон имел только эту скорость, то он двигался бы прямолинейно и равномерно. А влияние поля на скорость такое же, как и в основном случае по рис. Имея только скорость электрон совершал бы движение по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям.
Результирующее движение электрона происходит по винтовой линии (часто говорят "по спирали"). В зависимости от значений В, и эта винтовая траектория более или менее растянута. Ее радиус легко определить по формуле (16), подставив в нее скорость .
Для решения этой задачи так же воспользуемся прямоугольной системой координат. Ось у направим навстречу вектору магнитной индукции В, а ось х - так, чтобы вектор скорости электрона v0 находящегося в момент времени t = 0 в точке начала координат, лежал в плоскости XOY,. т.е. имеем компоненты vxo и vyo
В отсутствии электрического поля система уравнений движения электрона принимает вид:
или с учетом условий Вx =Bz=0, а Вy = - В:
Движение электрона в однородном магнитном поле
Интегрирование второго уравнения системы с учетом начального условия: при t=0, vy =vyo приводит к соотношению:
т.е. показывает, что магнитное поле не влияет на компоненту скорости электрона в направлении силовых линий поля.
Совместное решение первого и третьего уравнений системы, состоящее в дифференцировании первого по времени и подстановке значения dvz /dt из третьего, приводит к уравнению, связывающему скорость электрона vx со временем:
Решение уравнений такого типа можно представить в виде:
причем из начальных условий при t=0, v x=vx0 , dvx/dt=0 (что следует из первого уравнения системы, так как vz0 = 0) вытекает, что
Кроме того, дифференцирование этого уравнения с учетом первого уравнения системы приводит к выражению:
Заметим, что возведение в квадрат и сложение двух последних уравнений дает выражение:
которое еще раз подтверждает, что магнитное поле не изменяет величины полной скорости (энергии) электрона.
В результате интегрирования уравнения, определяющего его vx, получаем:
постоянная интегрирования в соответствии с начальными условиями равна нулю.
Интегрирование уравнения, определяющего скорость vz с учетом того, что при z = 0, t = 0 позволяет найти зависимость от времени координаты z электрона:
Решая два последних уравнения относительно и , возводя в квадрат и складывая, после несложных преобразований получаем уравнение проекции траектории электрона на плоскости XOZ:
Это уравнение окружности радиуса , центр которой расположен на оси z на расстоянии r от начала координат (рис. 2.2). Сама траектория электрона представляет собой цилиндрическую спираль радиуса с шагом. Из полученных уравнений очевидно также, что величина представляет собой круговую частоту движения электрона по этой траектории.