Дидактические материалы по геометрии к УМК В.А.Смирнова 9 класс учебно-методический материал по геометрии (9 класс) на тему

Предлагаемые дидактические материалы по геометрии предназначены для работы в 9 классе по учебнику: Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений (М.: Мнемозина). Их можно использовать при работе и по другим учебникам геометрии для 7-9 классов, входящим в Федеральный перечень учебной литературы. В учебное пособие включены математические диктанты, самостоятельные и контрольные работы, тесты, задачи с практическим содержанием и с элементами стереометрии.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Дидактические материалы по геометрии для 9 класса

Предлагаемые дидактические материалы по геометрии предназначены для работы в 9 классе по учебнику: Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений (М.: Мнемозина). Их можно использовать при работе и по другим учебникам геометрии для 7-9 классов, входящим в Федеральный перечень учебной литературы. В учебное пособие включены математические диктанты, самостоятельные и контрольные работы, тесты, задачи с практическим содержанием и с элементами стереометрии.

Диктанты представлены в двух вариантах ко всем пунктам названного учебника. Это задания с пропусками, которые заполняются учениками. Как правило, математический диктант проводится в начале урока в течение небольшого промежутка времени (оптимально 7-8 мин.). Он хорошо активизирует учебную деятельность школьников, способствует систематизации, обобщению знаний учащихся, повторению теоретического материала. Выполнять записи лучше на специальных листочках с копировальной бумагой. После выполнения заданий первые экземпляры сдаются учителю, а копии остаются для проверки, которую нужно провести сразу.

Самостоятельные работы – разноуровневые, они также даются к каждому пункту учебника. Предусмотрено два равноценных варианта. В каждом из них по 6 заданий, которые распределены по трем уровням: первые два задания легче (они отмечены кружком), вторые два – это задания базового, стандартного уровня и последние два – повышенного уровня трудности (помечены звездочкой). В самостоятельные работы включены разнообразные задачи на доказательство, вычисление и построение. Они помогут лучше освоить содержание обучения геометрии, сформировать необходимые представления, выработать практические навыки, развить логическое мышление, проверить качество освоения материала.

Контрольные работы охватывают все основные разделы курса геометрии 9 класса, их шесть, в соответствии с программой изучения. Каждая контрольная работа дается в двух равноценных вариантах. Последнее задание, отмеченное звездочкой, относится к повышенному уровню трудности.

Предлагаемые тесты посвящены основным темам курса геометрии 9 класса. Их всего шесть по 20 заданий в каждом. Они предназначены для проверки успешности усвоения школьниками учебного материала. Тесты не содержат громоздких вычислений и охватывают, по возможности, все основные понятия изученной темы. К каждому тестовому заданию предлагается несколько (как правило, четыре) вариантов ответов, из которых ученик должен выбрать один, верный, по его мнению.

В пособие включены, так называемые, задачи с практическим содержанием . Основная их дидактическая функция заключается в том, чтобы продемонстрировать учащимся непосредственную связь школьной геометрии с реальной жизнью. Это очень важный компонент обучения, который помогает учащимся лучше осознать значение геометрии и обеспечивает действенность геометрических знаний. Помимо сказанного, серьезным аспектом решения таких задач является формирование у школьников понятия математической модели: сначала перевод практической ситуации на язык геометрии, геометрическое решение и интерпретация полученного решения, т.е. возвращение к практической стороне исходной задачи. Именно так решаются настоящие прикладные задачи на производстве, в технике, науке, сельском хозяйстве и других областях.

Разработанный курс геометрии для основной школы представляет собой систематический курс планиметрии с включением в него элементов стереометрии. Последние нужны для развития пространственных представлений учащихся и подготовке к изучению систематического курса стереометрии старших классов. В данное пособие включены соответствующие упражнения на изображение простейших пространственных ситуаций, чтение пространственных чертежей, распознавание изучаемых плоских фигур на неплоских пространственных фигурах, применение планиметрических теорем в пространственных ситуациях, рассмотрение аналогий и т.п. Начала стереометрии (пункты 77-90 учебника) в шестом параграфе настоящего пособия.

В седьмом параграфе предлагаются задачи для итогового повторения .

Завершается пособие ответами к самостоятельным, контрольным работам, представленным задачам и тестам.

§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ

57. Измерение площадей. Площадь прямоугольника

В а р и а н т 1

1. Измерение длины отрезка основано на сравнении… .

2. За единицу измерения площадей принимается … .

3. Квадратным дециметром называется … .

4. Площадью фигуры называется … .

5. Площадь квадрата равна … .

6. Периметр квадрата, имеющего площадь 36 см 2 , равен … .

В а р и а н т 2

1. Измерение площади фигуры основано на сравнении … .

2. Единичным квадратом называется … .

3. Квадратным километром называется … .

4. Две фигуры называются равновеликими, если … .

5. Площадь прямоугольника равна … .

6. Площадь квадрата, имеющего периметр 36 см, равна … .

58. Площадь параллелограмма

В а р и а н т 1

1. Параллелограммом называется … .

2. Площадь ромба равна произведению его стороны на … .

3. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на … .

4. Если ромб и квадрат имеют соответственно равные стороны, то меньшая площадь будет у … .

5. Диагональ единичного квадрата равна …

6. Площадь ромба со стороной 4 см и углом 60 ° равна … .

В а р и а н т 2

1. Ромбом называется … .

2. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на … .

3. Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на … .

4. Если прямоугольник и параллелограмм имеют соответственно равные стороны, то большая площадь будет у … .

5. Диагональ квадрата равна см, площадь квадрата составит … .

6. Площадь ромба со стороной 5 см и углом 150 ° равна … .

59. Площадь треугольника

В а р и а н т 1

1. Треугольником называется … .

2. Катетами прямоугольного треугольника называются … .

3. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на … .

4. Площадь прямоугольного треугольника равна … .

5. Площадь равностороннего треугольника со стороной 2 дм равна … .

6. Средняя линия треугольника, площадь которого равна Q , отсекает от него треугольник площади … .

В а р и а н т 2

1. Высотой треугольника называется … .

2. Прямоугольным треугольником называется … .

3. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на … .

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами 10 см и 11 см равна … .

5. Высота равностороннего треугольника со стороной 6 дм равна … .

6. Площадь треугольника, образованного средними линиями другого треугольника площади Q , равна … .

60. Площадь трапеции

В а р и а н т 1

1. Площадь ромба с диагоналями 6 см и 7 см равна … .

2. Равнобедренной трапецией называется … .

3. Основаниями трапеции называются … .

4. Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на … .

5. Высотой прямоугольной трапеции является … .

6. Прямая, проходящая через середину средней линии трапеции и пересекающая ее основания, делит эту трапецию на … .

В а р и а н т 2

1. В треугольнике площади S проведена медиана, она разделила его на треугольники, площади … .

2. Трапецией называется … .

3. Высотой трапеции называется … .

4. Площадь трапеции равна произведению средней линии на … .

5. Прямоугольной трапецией называется … .

6. Площадь равнобедренной трапеции с основаниями 4 см, 8 см и углом 45 ° равна … .

61. Площадь многоугольника

В а р и а н т 1

1. Все диагонали, проведенные из одной вершины n -угольника, разбивают его на … .

2. Многоугольник называется описанным около окружности, если … .

3. Площадь произвольного многоугольника можно находить … .

4. Площадь правильного n -угольника выражается формулой … .

5. Площадь ромба с диагоналями 15 см и 3 см равна … .

6. Периметр многоугольника площади 6 см 2 , описанного около окружности радиуса 5 см, равен … .

В а р и а н т 2

1. Внутренняя точка n -угольника соединена отрезками со всеми его вершинами, при этом получилось … треугольников.

2. Окружность называется вписанной в многоугольник, если … .

3. Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна … .

4. Площадь четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна … .

5. Площадь правильного шестиугольника со стороной a , равна … .

6. Многоугольник с периметром 7 см, описанный около окружности радиуса 3 см, имеет площадь … .

62 . Площадь круга и его частей

В а р и а н т 1

1. Площадью круга считают число, к которому … .

2. Длина окружности радиуса R равна … .

3. Площадь круга диаметра D равна … .

4. Круговым сектором называется … .

5. Площадь сегмента, соответствующего сектору с центральным углом круга радиуса R , равна … .

6. Площадь сектора с ограничивающей его дугой длины l круга радиуса R , равна … .

В а р и а н т 2

1. Длиной окружности считают число, к которому … .

2. Длина окружности диаметра D равна … .

3. Площадь круга радиуса R равна … .

4. Круговым сегментом называется … .

5. Площадь сектора с центральным углом круга радиуса R равна … .

6. Длина дуги окружности радиуса R вычисляется по формуле … .

63. Площади подобных фигур

В а р и а н т 1

1. Два треугольника называются подобными, если … .

2. Подобием называется преобразование плоскости, при котором … .

3. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то … .

4. Если три стороны одного треугольника … то такие треугольники подобны.

5. Отношение площадей подобных фигур равно … .

6. Площади подобных многоугольников относятся как 5 : 9, их периметры относятся как … .

В а р и а н т 2

1. Два многоугольника называются подобными, если … .

2. Коэффициентом подобия называется … .

3. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен углу другого прямоугольного треугольника, то … .

4. Если две стороны одного треугольника … двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то … .

5. Площади подобных многоугольников относятся как … .

6. Периметры подобных многоугольников относятся как 4 : 3, их площади относятся как … .

64*. Изопериметрическая задача

В а р и а н т 1

1. Задачей Дидоны является задача … .

2. Изопериметрическими фигурами называются … .

3. Среди всех замкнутых кривых данной длины наибольшую площадь … .

4. Максимальная фигура ограничена … .

5. Периметр прямоугольника равен 12 см, тогда его площадь не превосходит … .

В а р и а н т 2

1. Изопериметрическая задача заключается в … .

2. Периметром фигуры называется … .

3. Максимальной называется фигура … .

4. Максимальная фигура является … .

5. Периметр прямоугольника равен 36 см, тогда его площадь не превосходит … .

65*. Равносоставленность и задачи на разрезание

В а р и а н т 1

1. Две фигуры называются равносоставленными, если … .

2. Любые два равновеликих многоугольника … .

3. Если две фигуры равносоставлены, то они … .

4. Чтобы разрезать треугольник на две равновеликие части, нужно … .

5. Чтобы перекроить ромб в квадрат, нужно … .

В а р и а н т 2

1. Две фигуры называются равновеликими, если … .

2. Две фигуры, равносоставленные с третьей фигурой, … .

3. Если два многоугольника равновелики, то они … .

4. Чтобы разрезать треугольник на четыре равновеликие части, нужно … .

5. Чтобы перекроить параллелограмм в прямоугольник, нужно … .

66. Прямоугольная система координат

В а р и а н т 1

1. Координатной осью называется … .

2. Началом координат называется … .

3. Прямоугольной системой координат на плоскости называется … .

4. Осью ординат называется … .

5. Абсциссой точки называется … .

6. Координаты точки на плоскости называются декартовыми, так как … .

В а р и а н т 2

1. Координатной прямой называется … .

2. Координатой точки на координатной прямой называется … .

3. Координатной плоскостью называется … .

4. Осью абсцисс называется … .

5. Ординатой точки называется … .

6. Система координат на плоскости называется декартовой, потому что … .

67. Расстояние между точками. Уравнение окружности

В а р и а н т 1

1. Середина отрезка MN , где M (0, 1), N (-2, 8), имеет координаты … .

2. Расстояние между точками A 1 ( x 1 , y 1 ), A 2 ( x 2 , y 2 ) выражается формулой … .

3. Окружность задается … .

4. Расстояние между точками E (5, 0) и F (-1, 0) равно … .

5. Окружность, заданная уравнением x 2 + y 2 – 2 x – 3 = 0, имеет радиус … .

6. Центр окружности, заданной уравнением x 2 + y 2 + 2 x – 2 y – 8 = 0, имеет координаты … .

В а р и а н т 2

1. Середина отрезка KL , где K (5, -6), L (-2, 0), имеет координаты … .

2. Расстояние между точками B 1 ( b 1 ), B 2 ( b 2 ) выражается формулой … .

3. Круг задается … .

4. Расстояние между точками C (0, -5) и D (0, 2) равно … .

5. Центр окружности, заданной уравнением x 2 + y 2 + 4 x – 4 = 0, имеет координаты … .

6. Окружность, заданная уравнением x 2 + y 2 + 6 y – 4 x – 12 = 0, имеет радиус … .

68. Векторы. Сложение векторов

В а р и а н т 1

1. Вектором называется … .

2. Вектор с началом в точке H и концом в точке P обозначается … .

3. Модулем вектора называется … .

4. Длина вектора обозначается … .

5. Два вектора называются равными, если … .

6. Сочетательный закон сложения векторов заключается в том, что … .

В а р и а н т 2

1. Отрезок, в котором указаны начало и конец, называется … .

2. Вектор с началом в точке G и концом в точке Q изображается … .

3. Модуль вектора обозначается … .

4. Длиной вектора называется … .

5. Суммой двух векторов и называется … .

6. Переместительный закон сложения векторов заключается в том, что … .

69. Умножение вектора на число

В а р и а н т 1

1. Произведением вектора на число t называется … .

2. Разностью векторов и называется … .

3. Первый распределительный закон умножения вектора на число заключается в том, что … .

4. Вершины треугольника задают … (количество) векторов.

5. В треугольнике ABC с медианой AM сумма векторов и равна … .

В а р и а н т 2

1. Вектором, противоположным вектору , называется … .

2. Сочетательный закон умножения вектора на число заключается в том, что … .

3. Второй распределительный закон умножения вектора на число заключается в том, что … .

4. Вершины квадрата задают … (количество) векторов.

5. В равностороннем треугольнике ABC с центром O сумма векторов и равна … .

70. Координаты вектора

В а р и а н т 1

1. Координатами вектора называется … .

2. Теорема о разложении вектора по координатным векторам заключается в том, что … .

3. При сложении двух векторов их координаты … .

4. Длина вектора выражается … .

5. Вектор имеет координаты (-1, 2), K (0, 5), тогда точка L имеет координаты … .

6. Вектор имеет координаты (5, 6), D (-3, 0), тогда точка C имеет координаты … .

В а р и а н т 2

1. Координатными векторами называются … .

2. Вектор имеет координаты ( x , y ) тогда и только тогда … .

3. При умножении вектора на число его … .

4. Длина вектора , где A 1 ( x 1 , y 1 ), A 2 ( x 2 , y 2 ) выражается … .

5. Вектор имеет координаты (0, -4), N (-1, 2), тогда точка M имеет координаты … .

6. Вектор имеет координаты (2, 0), E (0, -4), тогда точка F имеет координаты … .

71. Скалярное произведение векторов

В а р и а н т 1

1. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то их скалярное произведение считается … .

2. Скалярным квадратом называется … .

3. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда … .

4. Скалярное произведение векторов выражается через их координаты формулой … .

5. Скалярное произведение векторов и , угол между которыми 60 ° , составляет … .

6. Вектор, перпендикулярный вектору имеет, например, координаты … .

В а р и а н т 2

1. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется … .

2. Скалярный квадрат вектора обозначается … .

3. Скалярное произведение двух векторов и , где AC и BC – катеты прямоугольного треугольника, равно … .

4. Физический смысл скалярного произведения двух векторов заключается в том, что … .

5. Скалярное произведение векторов и равно … .

6. Скалярное произведение векторов и , угол между которыми равен 30 ° и | | = 3, | | = 4, равно … .

72. Уравнение прямой

В а р и а н т 1

1. Прямая на плоскости задается уравнением … .

2. Угловой коэффициент прямой равен … .

3. Для прямой, заданной уравнением y = kx + l вектор нормали имеет координаты … .

4. Если две прямые на плоскости, заданные уравнениями a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 и a 2 x + b 2 y + c 2 = 0, пересекаются, то угол между ними равен … .

5. Два уравнения a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 и a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 задают параллельные прямые, если … .

6. Две прямые перпендикулярны, если … .

В а р и а н т 2

1. Вектором нормали к прямой называется … .

2. Угловым коэффициентом прямой называется … .

3. Для прямой, заданной уравнением ax + by + c = 0 вектор нормали имеет координаты … .

4. Две прямые на плоскости параллельны, если их векторы нормали … .

5. Два уравнения a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 и a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 задают одну и ту же прямую, если … .

6. Две прямые пересекаются, если … .

73*. Аналитическое задание фигур на плоскости

В а р и а н т 1

1. Точки M плоскости, расположенные внутри окружности ( O ; R ) задаются … .

2. Полуплоскость задается … .

3. Система неравенств задает … .

4. Уравнение параболы имеет вид … .

5. Эллипсом называется … .

6. Фокусами гиперболы называются … .

В а р и а н т 2

1. Точки K плоскости, расположенные вне окружности ( O ; R ) задаются … .

2. Чтобы определить, какой полуплоскости относительно прямой принадлежит точка, нужно … .

3. Система неравенств задает … .

4. Параболой называется … .

5. Уравнение эллипса имеет вид … .

6. Асимптотами гиперболы называются … .

74*. Задачи оптимизации

В а р и а н т 1

1. Среди задач оптимизации можно выделить … .

2. Математическая модель задачи – это перевод … .

3. Основополагающим свойством в задачах оптимизации является то, что … .

4. На многоугольнике наименьшее значение линейная функция принимает в … .

5. Геометрической интерпретацией задачи оптимизации является … .

В а р и а н т 2

1. Транспортная задача заключается в том, чтобы … .

2. Метод решения задач оптимизации был разработан … .

3. Многоугольник ограничений – это … .

4. На многоугольнике наибольшее значение линейная функция принимает в … .

5. Плоская фигура, получающаяся при решении задачи оптимизации, является … .

75*. Тригонометрические функции произвольного угла

В а р и а н т 1

1. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется … .

2. Косинусом угла называется … .

3. Тангенсом угла называется … .

В а р и а н т 2

1. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется … .

2. Синусом угла называется … .

3. Котангенсом угла называется … .

76*. Полярные координаты

В а р и а н т 1

1. Полярной осью называется … .

2. Полярным углом называется … .

3. Декартовы координаты точки на плоскости выражаются через ее полярные координаты по формулам … .

4. Спираль Архимеда – кривая, задаваемая в полярных координатах уравнением … .

5. Уравнение r = sin 5 ϕ задает … .

В а р и а н т 2

1. Полюсом называется … .

2. Полярным радиусом называется … .

3. Полярные координаты точки на плоскости выражаются через ее декартовы координаты по формулам … .

4. Окружность в полярных координатах задается уравнением … .

5. Уравнение r = sin 6 ϕ задает … .

77. Основные понятия стереометрии

В а р и а н т 1

1. Планиметрия – это раздел геометрии … .

2. Слово «стереометрия» в переводе с греческого языка означает … .

3. Основными понятиями стереометрии являются … .

4. Через любые две точки пространства проходит … .

5. Если две плоскости имеют общую точку, то … .

6. Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то … .

В а р и а н т 2

1. Стереометрия – это раздел геометрии … .

2. Слово «планиметрия» в переводе с греческого языка означает … .

3. Основными понятиями планиметрии являются … .

4. Через любые три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, проходит … .

5. Существует, по крайней мере, четыре точки, … .

6. Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит … .

78*. Фигуры в пространстве

В а р и а н т 1

1. Многогранником называется тело, поверхность которого … .

2. Ребром многогранника называется … .

3. Параллелепипедом называется … .

4. Правильной призмой называется … .

5. Пирамидой называется … .

6. Поверхность цилиндра состоит … .

В а р и а н т 2

1. Гранью многогранника называется … .

2. Вершиной многогранника называется … .

3. Прямоугольным параллелепипедом называется … .

4. Прямой призмой называется … .

5. Правильной пирамидой называется … .

6. Поверхность конуса состоит … .

79. Угол в пространстве

В а р и а н т 1

1. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если … .

2. Плоскость разбивает пространство на … .

3. Гранями двугранного угла называются … .

4. Внутренними точками двугранного угла называются … .

5. Трехгранным углом называется … .

6. Вершиной многогранного угла называется … .

В а р и а н т 2

1. Углом в пространстве называется фигура, … .

2. Прямая разбивает плоскость на … .

3. Двугранным углом называется … .

4. Ребром двугранного угла называется … .

5. Четырехгранным углом называется … .

6. Ребрами многогранного угла называются … .

80. Параллельность прямых в пространстве

В а р и а н т 1

1. Две прямые в пространстве называются параллельными, если … .

2. Две прямые в пространстве называются пересекающимися, если … .

3. Два отрезка скрещиваются, если … .

4. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ребра … и … параллельны.

5. В тетраэдре имеется … пар скрещивающихся ребер.

6. Две прямые в пространстве не являются скрещивающимися, если … .

В а р и а н т 2

1. Параллельность прямых m и n обозначается … .

2. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если … .

3. Два отрезка параллельны, если … .

4. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ребра … и … скрещиваются.

5. В кубе имеется … пар параллельных ребер.

6. Две прямые в пространстве не являются параллельными, если … .

В а р и а н т 1

1. Окружностью называется … .

2. Сферой называется … .

3. Центром сферы называется … .

4. Радиусом сферы называется … .

5. Сфера имеет … радиусов.

6. Наибольшей хордой сферы является … .

В а р и а н т 2

1. Кругом называется … .

2. Шаром называется … .

3. Центром шара называется … .

4. Радиусом шара называется … .

5. Шар имеет … радиусов.

6. Наибольшей хордой шара является … .

82. Выпуклые многогранники

В а р и а н т 1

1. Многогранник называется выпуклым, если … .

2. Примером выпуклой фигуры, но не многогранника, является … .

3. Примером невыпуклого многогранника является … .

4. Выпуклый многогранник может быть составлен из … .

5. Пересечение выпуклых фигур является … .

6. Призма является выпуклой, если … .

В а р и а н т 2

1. Фигура называется выпуклой, если … .

2. Примером выпуклого многогранника является … .

3. Примером невыпуклой фигуры является … .

4. В выпуклом многограннике все грани … .

5. Пересечение выпуклых многогранников … .

6. Пирамида является выпуклой, если … .

83. Теорема Эйлера для многогранников

В а р и а н т 1

1. Число вершин, ребер и граней четырехугольной пирамиды равно соответственно …

2. Число вершин, ребер и граней n -угольной призмы равно соответственно … .

3. Для любого выпуклого многогранника имеет место формула … .

4. К одной из граней выпуклого многогранника с В вершинами, Р ребрами и Г гранями приставили пирамиду. Число вершин, ребер и граней стало равно соответственно …

5. Примером невыпуклого многогранника, для которого справедлива теорема Эйлера, является … .

В а р и а н т 2

1. Число вершин, ребер и граней пятиугольной призмы равно соответственно … .

2. Число вершин, ребер и граней n -угольной пирамиды равно соответственно … .

3. Теорема Эйлера заключается в том, что … .

4. От выпуклого многогранника с В вершинами, Р ребрами и Г гранями отсекли один из многогранных углов. Число вершин, ребер и граней стало равно соответственно … .

5. Примером невыпуклого многогранника, у которого все грани – выпуклые многоугольники, является … .

84. Правильные многогранники

В а р и а н т 1

1. Правильным многогранником называется … .

2. Поверхность октаэдра состоит из … .

3. Поверхность додекаэдра состоит из … .

4. Существует … типов топологически правильных многогранников.

5. Октаэдр и гексаэдр являются двойственными многогранниками, так как … .

В а р и а н т 2

1. Топологически правильным многогранником называется … .

2. Поверхность гексаэдра состоит из … .

3. Поверхность икосаэдра состоит из … .

4. Существует … правильных многогранников.

5. Додекаэдр и икосаэдр являются двойственными многогранниками, так как … .

85. Полуправильные многогранники

В а р и а н т 1

1. Полуправильные многогранники называются также … .

2. К полуправильным многогранникам относятся n -угольные призмы, которые … .

3. Гранями усеченного тетраэдра являются … .

4. Число ребер кубооктаэдра равно … .

5. Число вершин усеченного икосаэдра равно … .

6. Телами Платона называются … .

В а р и а н т 2

1. Полуправильным многогранником называется … .

2. К полуправильным многогранникам относятся n -угольные антипризмы, это многогранники … .

3. Гранями усеченного гексаэдра являются … .

4. Число ребер икосододекаэдра равно … .

5. Число вершин усеченного додекаэдра равно … .

6. Телами Архимеда называются … .

86. Звездчатые многогранники

В а р и а н т 1

1. Телами Кеплера-Пуансо называются … .

2. Правильные звездчатые многогранники получаются из … .

3. Число правильных звездчатых многогранников, которые получаются из додекаэдра, равно … .

4. Большой икосаэдр получается из … .

5. Большой додекаэдр получается … .

В а р и а н т 2

1. Правильным звездчатым многогранником называется … .

2. Тела Кеплера-Пуансо нельзя получить из следующих правильных многогранников … .

3. Число правильных звездчатых многогранников, которые получаются из икосаэдра, равно … .

4. Малый звездчатый додекаэдр получается из … .

5. Большой звездчатый додекаэдр получается … .

87. Моделирование многогранников

В а р и а н т 1

1. Развертку многогранника можно получить, если … .

2. Примером развертки правильного тетраэдра может служить, например, … .

3. Примером плоской фигуры, состоящей из шести квадратов, но не являющейся разверткой куба, является … .

4. Примером развертки правильной треугольной призмы является … .

5. Геометрический конструктор состоит из … .

В а р и а н т 2

1. Модель многогранника можно изготовить из его развертки путем … .

2. Примером развертки куба может служить следующая фигура … .

3. Примером плоской фигуры, состоящей из четырех правильных треугольников и не являющейся разверткой тетраэдра является … .

4. Примером развертки правильной четырехугольной пирамиды является … .

5. Один из способов изготовления модели правильного додекаэдра состоит в том, что … .

88. Кристаллы – природные многогранники

В а р и а н т 1

1. Кристаллы поваренной соли имеют форму … .

2. Кристаллы горного хрусталя напоминают … .

3. Кристалл исландского шпата имеет форму … .

4. Ромбододекаэдр – многогранник, у которого … .

5. Число вершин гранатоэдра равно … .

В а р и а н т 2

1. Кристалл алмаза может иметь форму … .

2. Кристаллы льда напоминают … .

3. Кристалл пирита имеет форму … .

4. Гранатоэдр – это … .

5. Число ребер ромбододекаэдра равно … .

89. Ориентация плоскости. Лист Мёбиуса

В а р и а н т 1

1. Поворот по часовой стрелке означает, что … .

2. Ориентацией поверхности называется … .

3. Число сторон плоскости равно … .

4. Листом Мёбиуса называется … .

5. Число краев листа Мёбиуса равно … .

В а р и а н т 2

1. Поворот против часовой стрелки означает, что … .

2. Ориентацией плоскости называется … .

3. Краями боковой поверхности цилиндра является … .

4. Лента Мёбиуса получается следующим образом … .

5. Число сторон ленты Мёбиуса равно … .

90. Площадь поверхности и объем

В а р и а н т 1

1. Площадь поверхности многогранника определяется как … .

2. Площадь боковой поверхности цилиндра с радиусом основания R и образующей b равна … .

3. Площадь поверхности конуса с радиусом основания R и образующей b равна … .

4. Площадь поверхности икосаэдра с ребром a равна … .

5. Объем куба с ребром 6 см равен … .

В а р и а н т 2

1. Площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1 см равна … .

2. Площадь боковой поверхности конуса с радиусом основания R и образующей b равна … .

3. Площадь поверхности цилиндра с радиусом основания R и образующей b равна … .

4. Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды с ребром a равна … .

5. Объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой 5 см и стороной основания 3 см равен … .

§ 2. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

57. Измерение площадей. Площадь прямоугольника

В а р и а н т 1

1 ° . Найдите площадь прямоугольника, если его стороны равны 1,1 дм и 19 см.

2 ° . Прямоугольник имеет площадь 256 см 2 . Найдите сторону равновеликого ему квадрата.

3. Найдите стороны прямоугольника площади 144 дм 2 , ели они относятся как 9 : 4.

4. В прямоугольном треугольнике MON ( ∠ O = 90 ° ) проведена высота OH . Докажите, что прямоугольник со сторонами MN и MH равновелик квадрату со стороной MO .

5*. Отрезок AB делится точками C и D соответственно на равные и неравные части. Докажите, что площадь прямоугольника со сторонами равными DA и DB равна разности площадей квадратов со сторонами, равными соответственно CB и CD .

6*. В четырехугольнике CDEF противоположные углы C и E – прямые, стороны ED и EF равны и высота EH = h , где H CF . Найти площадь данного четырехугольника.

В а р и а н т 2

1 ° . Найдите площадь прямоугольника, если его стороны равны 1,7 дм и 5 см.

2 ° . Квадрат и прямоугольник со сторонами 16 см и 25 см равновелики. Найдите сторону квадрата.

3. Площадь прямоугольника равна 225 м 2 , соседние стороны относятся как 1 : 9. Найдите его периметр.

4. В прямоугольном треугольнике DEF ( ∠ D = 90 ° ) проведена высота DP . Докажите, что квадрат со стороной DP равновелик прямоугольнику со сторонами EP и FP .

5*. Каким образом следует разделить отрезок MN точкой H , чтобы прямоугольник со сторонами равными HM и HN имел наибольшую площадь?

6*. Постройте квадрат, площадь которого в 2 раза больше площади данного квадрата.

58. Площадь параллелограмма

В а р и а н т 1

1 ° . Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 11 см и 12 см, а один из углов равен 30 ° .

2 ° . Стороны параллелограмма равны 16 см и 8 см. Высота, опущенная на первую сторону, равна 6 см. Найдите вторую высоту параллелограмма.

3. Периметр параллелограмма равен 72 дм, высоты равны 3 дм и 9 дм. Найдите площадь параллелограмма.

4. Найдите формулу для вычисления площади параллелограмма по его периметру, равному P , и расстояниям d 1 , d 2 от точки пересечения диагоналей до сторон.

5*. На рисунке 1 изображен параллелограмм ABCD , точка M – произвольная точка диагонали AC , OP || AB , KL || BC . Определите вид четырехугольников MLDO и MKBP и докажите, что они равновелики.

6*. В прямоугольник, стороны которого относятся как 3 : 4 вписан четырехугольник, сторонами которого являются середины сторон прямоугольника. Найдите площадь этого четырехугольника, если одна из его сторон равна 15 см.

В а р и а н т 2

1 ° . Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 6 см и 8 см, а один из углов равен 45 ° .

2 ° . Площадь параллелограмма равна 28 см 2 , стороны – 7 см и 8 см. Найдите его углы.

3. Площадь параллелограмма равна 72 дм 2 . Расстояния от точки пересечения его диагоналей до сторон равны 3 дм и 9 дм. Найдите периметр параллелограмма.

4. Найдите формулу для вычисления площади параллелограмма по его периметру, равному 2 p , и двум его высотам h 1 , h 2 .

5*. В параллелограмме CDEF (рис. 2) точка O – произвольная точка диагонали DF , через нее проведены отрезки KL , параллельный CF , и MN , параллельный EF . Определите вид четырехугольников OLEM и OKCN и докажите, что они равновелики.

6*. Через вершины четырехугольника проведены прямые, параллельные его соответствующим диагоналям. Найдите площадь четырехугольника, который образуется этими прямыми, если площадь данного четырехугольника равна 2 Q .

59. Площадь треугольника

В а р и а н т 1

1 ° . Найдите площадь прямоугольного треугольника с катетами 5 дм и 12 см.

2 ° . Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны a и b и угол между ними равен 60 ° .

3. Может ли площадь треугольника со сторонами 7 см и 8 см быть равной: а) 56 см 2 ; б) 28 см 2 ; в) 14 см 2 ? Ответ поясните.

4. Найдите геометрическое место вершин C равновеликих треугольников, имеющих общую сторону AB .

5*. Разделите данный прямоугольник на три равновеликие части прямыми, выходящими из одной его вершины.

6*. Найдите площадь треугольника, если его медианы равны 6 см, 15 см и 18 см.

В а р и а н т 2

1 ° . Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 2 см.

2 ° . Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны m и n и угол между ними равен 30 ° .

3. Может ли площадь треугольника со сторонами 4 дм и 12 дм быть равной: а) 12 дм 2 ; б) 24 дм 2 ; в) 48 дм 2 ? Ответ поясните.

4. Постройте треугольник, площадь которого равна сумме площадей двух треугольников, имеющих одинаковую высоту.

5*. Разделите данный параллелограмм на пять равновеликих частей прямыми, выходящими из одной его вершины.

6*. Медианы треугольника равны 12 см, 9 см и 6 см. Найдите его площадь.

60. Площадь трапеции

В а р и а н т 1

1 ° . Высота трапеции равна 1 дм, площадь – 85 см 2 . Найдите ее среднюю линию.

2 ° . В трапеции KLMN с основаниями LM и NK диагонали пересекаются в точке P . Найдите пары равновеликих треугольников.

3. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 12 см и 8 см и углом 135 ° .

4. Докажите, что если в трапеции середину одной боковой стороны соединить с концами другой боковой стороны, то площадь полученного треугольника будет равна половине площади трапеции.

5*. В трапеции OPHQ основания PH и OQ равны соответственно p и q ( p q ). Высота трапеции равна h , OR = r , где точка r принадлежит OQ . Найдите на PH точку S , чтобы отрезок RS разделил трапецию на две части, площади которых относятся как m : n .

6*. Трапеция разделена диагоналями на четыре треугольника. Площади треугольников, прилегающих к основаниям равны S 1 и S 2 . Найдите площади двух других треугольников.

В а р и а н т 2

1 ° . Основания трапеции 1,3 дм и 1,1 дм, площадь равна 48 см 2 . Найдите ее высоту.

2 ° . В трапеции EFGH ( EF || GH ) диагонали пересекаются в точке M . Найдите пары равновеликих треугольников.

3. Найдите площадь прямоугольной трапеции с основаниями 5 см и 8 см, большая боковая сторона которой составляет с основанием угол 135 ° .

4. Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из ее боковых сторон на перпендикуляр, опущенный на нее из середины другой боковой стороны.

5*. Трапеция KLMN ( KL || MN ) разделена отрезком EF , параллельным KN , где точки E , F принадлежат сторонам трапеции соответственно KL и MN , на две части EFNK и EFML , отношение площадей которых равно m : n . Найдите отрезок KE , если KL = a , MN = b .

6*. Трапеция разделена диагоналями на четыре треугольника. Площади треугольников, прилегающих к основаниям равны Q 1 и Q 2 . Найдите площади двух других треугольников.

61. Площадь многоугольника

В а р и а н т 1

1 ° . Найдите площадь квадрата, вписанного в окружность радиуса R .

2 ° . Найдите площадь правильного шестиугольника со стороной a .

3. Около окружности, диаметр которой равен 16 см, описан многоугольник, площадь которого равна 192 см 2 . Найдите периметр многоугольника.

4. Найдите площадь четырехугольника, если его диагонали равны 17 см и 9 см, а угол между ними равен 60 ° .

5*. Равносторонний треугольник со стороной 1 повернут вокруг своего центра на угол 60 ° . Найдите площадь пересечения исходного треугольника и повернутого.

6*. Постройте четырехугольник, равновеликий данному пятиугольнику ABCDE .

В а р и а н т 2

1 ° . Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса r .

2 ° . Найдите площадь правильного треугольника со стороной b .

3. Окружность радиуса 15 см вписана в правильный многоугольник со стороной 3 см. Найдите число сторон данного многоугольника, если его площадь равна 450 см 2 .

4. Диагонали четырехугольника равны 9 см и 81 см. Угол между ними равен 135 ° . Найдите площадь данного четырехугольника.

5*. Квадрат со стороной 1 повернут вокруг его центра на угол 45 ° . Найдите площадь пересечения исходного квадрата и повернутого.

6*. Постройте пятиугольник, равновеликий данному шестиугольнику ABCDEF .

62. Площадь круга и его частей

В а р и а н т 1

1 ° . Площадь круга равна 289 π см 2 . Найдите его диаметр и длину окружности.

2 ° . Найдите площадь кольца, если радиусы его окружностей равны 19 мм и 28 мм.

3. Даны две концентрические окружности, хорда большей из них, касающаяся меньшей окружности, равна 20 см. Найдите площадь кольца, ограниченного этими окружностями.

4. Найдите площадь сегмента круга радиуса R , если его угол равен 120 ° .

5*. Постройте полукруг, равновеликий данному кругу.

6*. На рисунке 3 отрезки AB , BC , CD и DE равны. На отрезках AB , AC , AD , AE и DE , CE , BE , AE , как на диаметрах построены полуокружности. Докажите, что четыре образовавшиеся непересекающихся криволинейные фигуры равновелики.

В а р и а н т 2

1 ° . Длина окружности равна 38 π см. Найдите ее диаметр и площадь соответствующего круга.

2 ° . Найдите площадь кольца, если длины его окружностей равны 24 мм и 18 мм.

3. Даны две концентрические окружности. Найдите хорду большей окружности, которая касается меньшей окружности, если площадь соответствующего круга равна 400 π дм 2 .

4. Найдите площадь сегмента, если его хорда равна a и дуга окружности содержит 90 ° .

5*. Постройте круг, равновеликий данному полукругу.

6*. На рисунке 4 отрезки AB и CD равны, точка O – середина отрезка AD . На отрезках AB , CD , AD , BC , как на диаметрах проведены полуокружности. Докажите, что фигура, ограниченная этими полуокружностями, равновелика кругу с диаметром PH , где PH – перпендикуляр к AD , проходящий через точку O .

63. Площади подобных фигур

В а р и а н т 1

1 ° . Площадь треугольника равна 36 см 2 . Найдите площадь треугольника, образованного его средними линиями.

2 ° . Периметры подобных многоугольников равны 120 см и 720 см. Найдите отношение их площадей.

3. Сумма площадей трех подобных треугольников равна 413 дм 2 , их периметры относятся как 1 : 3 : 7. Найдите площадь каждого многоугольника.

4. В окружности с центром O проведены диаметр EF , хорды EG , FG , причем последняя стягивает дугу 60 ° . Касательная к окружности, проведенная через точку G , пересекает прямую EF в точке M . Найдите отношение площадей треугольников MGF и MGE .

5*. Постройте треугольник, площадь которого в два раза меньше площади данного треугольника.

6*. Каждая сторона квадрата повернута на 30 ° вокруг одной из своих вершин, как показано на рисунке 5. Найдите отношение сторон и площадей данного квадрата и квадрата, образованного его повернутыми сторонами.

В а р и а н т 2

1 ° . Площадь треугольника равна 64 см 2 . Найдите площадь треугольника, отсеченного от него средней линией.

2 ° . Площади подобных многоугольников равны 810 см 2 и 90 см 2 . Найдите отношение их периметров.

3. В прямоугольном треугольнике катеты относятся как 3 : 4, высота делит его на два треугольника, разность площадей которых равна 56 дм 2 . Найдите площадь данного треугольника.

4. В окружности проведены две непересекающиеся хорды KL и MN , которые стягивают дуги соответственно 90 ° и 120 ° . Прямые MK и MN пересекаются в точке P . Найдите площади треугольников PKL и PMN , если их сумма равна 200 см 2 .

5*. Постройте треугольник, площадь которого в два раза больше площади данного треугольника.

6*. На рисунке 6 ABCD – квадрат. Точки A 1 , A 2 , B 1 , B 2 , C 1 , C 2 , D 1 , D 2 делят его соответствующие стороны на три равные части. Найдите отношение площадей данного квадрата и четырехугольника EFGH .

64. Изопериметрическая задача

В а р и а н т 1

1 ° . Определите наибольшую сторону треугольника BCD , если: а) угол B – тупой; б) угол C – прямой; в) углы B и D – острые.

2 ° . Какова наибольшая площадь треугольника со сторонами 37 см и 46 см?

3. Среди всех треугольников, имеющих одну и ту же сторону и равные углы, ей противолежащие, найдите треугольник наибольшей площади.

4. Среди всех равновеликих треугольников с данной стороной найдите треугольник, который имеет наибольший угол, противолежащий этой стороне.

5*. Докажите, что среди всех изопериметрических треугольников с данной стороной, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник, у которого данная сторона является основанием.

6*. Докажите, что из всех равновеликих прямоугольников наименьший периметр имеет квадрат.

В а р и а н т 2

1 ° . Определите наименьшую и наибольшую стороны прямоугольного треугольника DEF ( ∠ E = 90 ° ), если ∠ F = 38 ° .

2 ° . Треугольник имеет стороны 19 см и 27 см. В каких пределах заключена его площадь?

3. Найдите четырехугольник наибольшей площади, вписанный в круг.

4. Докажите, что среди всех треугольников, имеющих по равному углу и равной высоте, выходящей из этого угла, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.

5*. Докажите, что среди всех равновеликих треугольников, имеющих общую сторону, наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник, у которого основание равно данной стороне.

6*. Докажите, что если квадрат и треугольник равновелики, то периметр треугольника больше периметра квадрата.

65. Равносоставленность и задачи на разрезание

В а р и а н т 1

1 ° . Разрежьте треугольник по прямой, проходящей через его вершину, на два равновеликих треугольника.

2 ° . Разрежьте треугольник на шесть равновеликих треугольников

3. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке 7, на две равные части, чтобы в каждой из них была звездочка.

4. Сложите: а) прямоугольник; б) равнобедренный прямоугольный треугольник из семи частей квадрата, изображенных на рисунке 8.

5*. Разрежьте прямоугольный треугольник, имеющий угол 30 ° , на четыре равных треугольника.

6*. Докажите, что ромб равносоставлен с равновеликим ему квадратом.

В а р и а н т 2

1 ° . Разрежьте треугольник по прямым, проходящим через его вершину, на три равновеликих треугольника.

2 ° . Разрежьте параллелограмм на 12 равных треугольников.

3. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке 9, на две равные части, чтобы в каждой из них была звездочка.

4. Сложите: а) параллелограмм; б) равнобедренную трапецию из семи частей квадрата, изображенных на рисунке 8.

5*. Разрежьте прямоугольный треугольник, имеющий угол 30 ° , на четыре подобных треугольника.

6*. Докажите, что прямоугольник равносоставлен с равновеликим ему параллелограммом.

66. Прямоугольная система координат

В а р и а н т 1

1 ° . Изобразите прямоугольную систему координат и отметьте точки K (1, -3) и L (-5, 0). Найдите координаты точек H и P – оснований перпендикуляров, опущенных соответственно из точки K на ось Ox и из точки L на ось Oy .

2 ° . Найдите координаты середины отрезка MN , если: а) M (0, -8), N (11, -4); б) M (3, -10), N (-13, 3).

3. Найдите координаты точки пересечения отрезка AB с осью абсцисс, если A (3, -2), B (6, 5).

4. Найдите координаты точки, симметричной точке E (-4, 9) относительно: а) начала координат; б) оси ординат; в) оси абсцисс.

5*. Найдите ГМТ координатной плоскости, для которых | x | > 5.

6*. Найдите ГМТ координатной плоскости, для которых x 2 + y 2 > 5.

В а р и а н т 2

1 ° . Изобразите прямоугольную систему координат и отметьте точки M (-2, 1) и N (3, 0). Найдите координаты точек E и F – оснований перпендикуляров, опущенных соответственно из точки M на ось Oy и из точки N на ось Ox .

2 ° . Найдите координаты середины отрезка KL , если: а) K (-5, 6), L (11, -17); б) K (0,5, 8), L (0,3, -12).

3. Найдите координаты точки пересечения отрезка CD с осью Oy , если C (6, 4), D (-2, -5).

4. Найдите координаты точки, симметричной точке Q (6, -4) относительно: а) оси Ox ; б) оси ординат; в) начала координат.

5*. Найдите ГМТ координатной плоскости, для которых | y | ≤ 4.

6*. Найдите ГМТ координатной плоскости, для которых x 2 + y 2

67. Расстояние между точками. Уравнение окружности

В а р и а н т 1

1 ° . Найдите расстояние между точками P и Q , если P (1, 5), Q (-8, 9).

2 ° . Напишите уравнение окружности с центром в точке M (0, -13) и радиусом 11.

3. Определите вид треугольника BCD и длину его высоты DH , если B (0, 2), C (6, 4), D (5, -3).

4. Даны точки K (-7, 2) и L (3, 6). Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и одинаково удаленной от данных точек.

5*. Даны три точки R (0, 10), S (7, -4), T (5, 0). Принадлежат ли они одной прямой?

6*. Найдите точки, одинаково удаленные от координатных прямых и точки с координатами (-6, 12).

В а р и а н т 2

1 ° . Найдите длину отрезка GH , если G (5, -4), H (-1, -8).

2 ° . Напишите уравнение окружности с центром в точке K (-11, 0) и радиусом 12.

3. Определите вид треугольника CDE и длину его высоты EP , если C (-10, -2), D (-4, 2), E (-9, 3).

4. Даны точки M (6, -5) и N (-6, 2). Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и одинаково удаленной от данных точек.

5*. Является ли отрезок QP , где Q (-5, 4), P (-3, -6) хордой окружности x 2 + y 2 + 6 x – 8 y + 21 = 0? Изобразите данную геометрическую ситуацию.

6*. Найдите точки, одинаково удаленные от точки A (8, -4) и осей абсцисс и ординат.

68. Векторы. Сложение векторов

В а р и а н т 1

1 ° . Дан квадрат ABCD . Запишите векторы, равные вектору .

2 ° . В треугольнике EFG от точки M – его центроида, отложите векторы, равные векторам , , , , где G 1 – середина стороны EF .

3. Найдите сумму векторов: а) ; б) .

4. Задайте векторы и . Постройте: а) ; б) ; в) .

5*. На рисунке 10 заданы векторы и . От произвольно выбранных точек плоскости в каждом случае отложите векторы , , .

6*. Докажите, что для любых векторов и выполняется неравенство .

В а р и а н т 2

1 ° . Дан ромб ABCD . Запишите векторы, равные вектору .

2 ° . В треугольнике KLM от точки G – его центроида, отложите векторы, равные векторам , , , , где KL 1 = ML 1 .

3. Найдите сумму векторов: а) ; б) .

4. Задайте векторы и . Постройте: а) - + ; б) - ; в) - .

5*. На рисунке 11 заданы векторы и . От произвольно выбранных точек плоскости в каждом случае отложите векторы: а) ; б) ; в) .

6*. Верно ли неравенство ?

69. Умножение вектора на число

В а р и а н т 1

1 ° . Задайте ненулевой вектор и постройте векторы: а) 3 ; б) ; в) .

2 ° . В параллелограмме BCDE диагонали пересекаются в точке P . Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

3. В треугольнике KLM медианы KK 1 , LL 1 , MM 1 пересекаются в точке G . Выразите через векторы и векторы: а) ; б) ; в) ; г) .

4. Дан ненулевой вектор . При каких значениях m : а) векторы и m сонаправлены (т.е. при откладывании от одной точки лежат на одной прямой и имеют одно направление); б) верно неравенство | m | |?

5*. Запишите в векторной форме условия того, что точка O лежит между точками A и B .

6*. Докажите, что , где M – произвольная точка плоскости, O – середина отрезка KL .

В а р и а н т 2

1 ° . Задайте ненулевой вектор и постройте векторы: а)2 ; б) ; в) .

2 ° . В прямоугольнике DEFG диагонали пересекаются в точке M . Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

3. В треугольнике OPQ точка M – центроид, O 1 , P 1 , Q 1 – середины соответствующих сторон PQ , OQ , OP . Выразите через векторы и векторы: а) ; б) ; в) ; г) .

4. Дан ненулевой вектор . При каких значениях n : а) векторы и n противоположно направлены (т.е. при откладывании от одной точки лежат на одной прямой и имеют противоположные направления); б) верно неравенство | n | > | |?

5*. Запишите в векторной форме условия того, что точка O является точкой пересечения диагоналей четырехугольника ABCD .

6*. Докажите, что , где O – произвольная точка плоскости, KLN – данный треугольник, M – его центроид.

70. Координаты вектора

В а р и а н т 1

1 ° . Найдите координаты вектора , если: а) ; б) ; в) ; г) .

2 ° . Найдите координаты вектора , если: а) E (1, 2), F (2, 1); б) E (-2, 0), F (3, 1); в) E (10, -3), F (0, -9); г) E (-8, -5), F (12, -18).

3. Найдите координаты точки H , если: а) , G (5, -7); б) G (0, 25), .

4. Точка P делит отрезок MN в отношении 1 : 4. Найдите координаты вектора , если .

5*. Докажите с помощью векторов теорему о средней линии треугольника.

6*. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей.

В а р и а н т 2

1 ° . Найдите координаты вектора , если: а) ; б) ; в) ; г) .

2 ° . Найдите координаты вектора , если: а) G (0, 1), H (0, -1); б) G (5, -4), H (-10, 7); в) G (0, -15), H (24, 5); г) G (4, -9), H (16, 0).

3. Найдите координаты точки A , если: а) , B (15, -21); б) B (0, -16), .

4. Отрезок KL разделен точкой E в отношении 2 : 3. Найдите координаты вектора , если .

5*. Точка M делит отрезок AA 1 в отношении 2 : 1. Докажите, что для произвольной точки X выполняется равенство: .

6*. Точки E и F делят диаметр окружности на три равные части. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки этой окружности до данных точек есть величина постоянная.

71. Скалярное произведение векторов

В а р и а н т 1

1 ° . Найдите скалярное произведение двух единичных векторов, угол между которыми равен 30 ° .

2 ° . Дан равносторонний треугольник ABC со стороной, равной 4 см. Найдите: а) ; б) ; в) , где B 1 – середина стороны AC .

3. Определите вид треугольника DEF , если D (-7, 2), E (2, 5), F (4, 10).

4. Даны векторы (0, -5) и (-2, 8). При каком значении x векторы и 2 - 3 x перпендикулярны.

5*. Вычислите работу, которую производит сила (15, -9), когда точка ее приложения перемещается, двигаясь прямолинейно, из положения Z 1 (-5, 18) в положение Z 2 (-3, 15).

6*. На сторонах треугольника XYZ внешним образом построены квадраты XYKP и YZGL (рис. 12). Точка M – середина KL . Докажите, что прямые XZ и YM перпендикулярны.

В а р и а н т 2

1 ° . Найдите скалярное произведение двух векторов длины 2, угол между которыми равен 45 ° .

2 ° . Дан единичный квадрат ABCD . O – точка пересечения его диагоналей. Найдите: а) ; б) ; в) .

3. Определите вид треугольника MNK , если M (-10, -5), N (-5, 5), K (6, 7).

4. Даны векторы (2, 0) и (-3, 5). При каком значении y векторы 2 и y - 4 перпендикулярны.

5*. Вычислите работу, которую производит сила (3, -9), когда точка ее приложения перемещается, двигаясь прямолинейно, из положения A (5, -8) в положение B (15, -12).

6*. Докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

72. Уравнение прямой

В а р и а н т 1

1 ° . Запишите уравнение прямой, проходящей через точку H (-5, 6), перпендикулярную оси абсцисс.

2 ° . Постройте прямую 2 x – y + 4 = 0 и найдите ее точки пересечения с координатными осями.

3. Запишите уравнение прямой, проходящей через точки M (1, -2) и N (3, 0). Найдите координаты ее вектора нормали.

4. Найдите координаты точки пересечения прямых x – y – 10 = 0 и 6 x + 7 y – 21 = 0.

5*. Запишите уравнения перпендикулярных прямых, пересекающихся в точке P (-5, -2), если одной из них принадлежит точка Q (-2, 2,5).

6*. Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку S (11, 5) и касается окружности x 2 + y 2 + 12 x – 6 y + 41 = 0.

В а р и а н т 2

1 ° . Запишите уравнение прямой, проходящей через точку P (7, -4), перпендикулярную оси ординат.

2 ° . Постройте прямую x + 6 y – 12 = 0 и найдите ее точки пересечения с координатными осями.

3. Запишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку P (-8, 12). Найдите координаты ее вектора нормали.

4. Найдите координаты точки пересечения прямых 4 x – 3 y + 24 = 0 и 2 x + 3 y – 6 = 0.

5*. Запишите уравнение окружности, которая проходит через точку M (-1, 6) и касается оси: а) абсцисс; б) ординат.

6*. Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку R (13, -14) и касается окружности x 2 + y 2 – 18 x + 12 y + 101 = 0.

73. Аналитическое задание фигур на плоскости

В а р и а н т 1

1 ° . Найдите фигуру, которая задается неравенством x 0.

2 ° . Нарисуйте фигуру, задаваемую неравенствами: Как она называется.

3. Нарисуйте фигуру, которая задается неравенствами

4. На рисунке 13 изображен шестиугольник ABCDEF . Запишите неравенства, которые его задают.

5*. Для параболы, заданной уравнением y = x 2 – 2 x – 1, найдите координаты ее фокуса и уравнение директрисы.

6*. Напишите уравнение эллипса, проходящего через точку M (1, ), сумма расстояний от которой до фокусов эллипса равна 10.

В а р и а н т 2

1 ° . Найдите фигуру, которая задается неравенством y ≤ 0.

2 ° . Нарисуйте фигуру, задаваемую неравенствами: Как она называется.

3. Нарисуйте фигуру, которая задается неравенствами

4. На рисунке 14 изображен шестиугольник EABCDF . Запишите неравенства, которые его задают.

5*. Вершина параболы расположена в начале координат. Уравнение директрисы имеет вид y – 2 = 0. Найдите координаты ее фокуса и запишите ее уравнение.

6*. Найдите координаты фокусов и точек пересечения с осью ординат гиперболы, заданной уравнением 16 x 2 – y 2 + 4 y – 4 = 16.

74*. Задачи оптимизации

В а р и а н т 1

1 ° . Нарисуйте фигуру, координаты точек которой удовлетворяют неравенству: а) x 0; б) y

2 ° . Нарисуйте фигуру, координаты точек которой удовлетворяют неравенству: а) x – y 1; б) 3 x + 2 y > 0.

3. Нарисуйте фигуру, координаты точек которой удовлетворяют неравенству: а) | x | y | ≥ 5.

4. Нарисуйте фигуру, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств:

5*. Найдите наибольшее значение функции F= 3 x +3 y при условии

6*. Для изготовления полки нужно вырезать из фанеры одну заготовку для задней стенки (деталь А), две заготовки для боковинок (деталь Б) и три одинаковых заготовки для верхней, средней и нижней горизонтальных панелей (деталь В). Имеющиеся на мебельном комбинате листы фанеры таковы, что при первом способе раскроя из одного листа можно изготовить одну деталь типа А, четыре типа Б и восемь типа В, а при втором способе три детали типа А, две типа Б и две типа В. Можно ли, имея 180 листов фанеры, изготовить 200 полок? Как осуществить раскрой материала, чтобы было использовано наименьшее число листов фанеры?

В а р и а н т 2

1 ° . Нарисуйте фигуру, координаты точек которой удовлетворяют неравенству: а) y x -1.

2 ° . Нарисуйте фигуру, координаты точек которой удовлетворяют неравенству: а) 2 x – y x + 4 y ≥ -5.

3. Нарисуйте фигуру, координаты точек которой удовлетворяют неравенству: а) | x | ≥ 4; б) | y |

4. Нарисуйте фигуру, координаты которой удовлетворяют системе неравенств:

5. Найдите наименьшее значение функции F= 3 x +4 y при условии

6*. Для изготовления полки нужно вырезать из фанеры одну заготовку для задней стенки (деталь А), две заготовки для боковинок (деталь Б) и три одинаковых заготовки для верхней, средней и нижней горизонтальных панелей (деталь В). Имеющиеся на мебельном комбинате листы фанеры таковы, что при первом способе раскроя из одного листа можно изготовить одну деталь типа А, четыре типа Б и восемь типа В, а при втором способе три детали типа А, две типа Б и две типа В. Можно ли, имея 180 листов фанеры, изготовить 200 полок? Как осуществить раскрой материала, чтобы было использовано наименьшее число листов фанеры?

75*. Тригонометрические функции произвольного угла

В а р и а н т 1

1 ° . Постройте окружность с центром в начале координат и изобразите точку, получающуюся из точки с координатами (1, 0) поворотом на: а) 30 ° ; б) 90 ° ; в) 150 ° ; г) 420 ° ; д) -135 ° .

2 ° . Определите, углом какой четверти является угол α , если: а) α = 190 ° ; б) α = 100 ° ; в) α = - 45 ° ; г) α = 500 ° ; д) α = 1080 ° .

3. Найдите значение выражения: а) 2cos 0 ° - 4sin 90 ° + 5tg 180 ° ; б) 2cos 60 ° + cos 30 ° ; в) 2sin 30 ° + 6cos 60 ° - 4 tg 45 ° ; г) 3tg 45 ° tg 60 ° .

4. Найдите значение выражения: а) sin(-30 ° ) + cos(-60 ° ); б) cos 135 ° + sin(-210 ° ); в) 2sin 120 ° tg 300 ° ; г) 4sin(-150 ° ) cos 300 ° tg 240 ° .

5*. Решите уравнение: а) sin α = 1; б) tg β = 0.

6*. Отметьте на единичной окружности дуги, соответствующие углам γ , для которых: а) cos γ 0; б) |sin γ | .

В а р и а н т 2

1 ° . Постройте окружность с центром в начале координат и изобразите точку, получающуюся из точки с координатами (1, 0) поворотом на: а) 45 ° ; б) 135 ° ; в) 270 ° ; г) 540 ° ; д) -150 ° .

2 ° . Определите, углом какой четверти является угол β , если: а) β = 60 ° ; б) β = 187 ° ; в) β = 235 ° ; г) β = -118 ° ; д) β = 2160 ° .

3. Найдите значение выражения: а) 2tg 0 ° - 3cos 270 ° + 5sin 0 ° ; б) 2sin 30 ° - ctg 45 ° ; в) 4sin 45 ° - cos 30 ° + 8 tg 60 ° ; г) 4ctg 30 ° cos 60 ° .

4. Найдите значение выражения: а) sin(-60 ° ) + cos(-30 ° ); б) cos (-180 ° ) + cos 300 ° ; в) 6cos(-240 ° ) ctg 210 ° ; г) 8sin(-30 ° ) cos 60 ° + tg(135 ° ) ctg(-225 ° ).

5*. Решите уравнение: а) sin β = -1; б) ctg α = 0.

6*. Отметьте на единичной окружности дуги, соответствующие углам , для которых: а) sin > 0; б) |cos | .

76. Полярные координаты

В а р и а н т 1

1 ° . Изобразите в полярных координатах точки A (3, 0), B (8, ) и E (5, - ).

2 ° . Полярные координаты точки равны: а) (1, π ); б) (2, - ). Найдите ее декартовы координаты.

3. Изобразите ГМТ на плоскости, полярные координаты которых удовлетворяют равенству: а) r – 1 = 0; б) = - .

4. Найдите полярное уравнение прямой x = -2.

5*. Запишите уравнение спирали Архимеда, если расстояние между ее соседними витками равно 3.

6*. Определите расстояние между точками B (1, ) и D (2, - ).

В а р и а н т 2

1 ° . Изобразите в полярных координатах точки B (2, ), D (3, 0) и F (7, - ).

2 ° . Декартовы координаты точки равны: а) (-1, 1); б) (2, -2). Найдите ее полярные координаты.

3. Изобразите ГМТ на плоскости, полярные координаты которых удовлетворяют равенству: а) ϕ = ; б) r = 2.

4. Найдите полярное уравнение прямой y = -1.

5*. Запишите уравнение спирали Архимеда, если расстояние между ее соседними витками равно .

6*. Определите расстояние между точками A (3, - ) и C (1, π ).

Замечание. Задачи по теме «Начала стереометрии» вы найдете в § 6 данного пособия.

57 В а р и а н т 1. 1. 209 см 2 . 2 . 16 см. 3. 18 дм, 8 дм. 6*. h 2 .

В а р и а н т 2. 1. 85 см 2 . 2. 20 см. 3. 100 м. 6*. Сторона искомого квадрата равна диагонали данного квадрата.

58 В а р и а н т 1. 1. 66 см 2 . 2. 12 см. 3. 81 дм 2 . 4. . 5*. Параллелограммы. 6*. 216 см 2 .

В а р и а н т 2. 1. см 2 . 2. 30 ° , 30 ° , 150 ° , 150 ° . 3. 32 дм. 4. . 6*. 4 Q .

59 В а р и а н т 1. 1. 3 дм 2 . 2. . 3. а) Нет; б), в) да. 4. Две прямые, параллельные прямой AB , отстоящие от нее на расстояние h . 5*. Решение представлено на рисунке 31. 6*. см 2 .

В а р и а н т 2. 1. см. 2. . 3. а), б) Да; в) нет. 5*. Решение представлено на рисунке 32. 6*. см 2 .

60 В а р и а н т 1. 1. 8,5 см. 3. 20 см 2 . 5*. . 6*. .

В а р и а н т 2. 1. 4 см. 3. 19,5 см 2 . 5*. . 6*. .

61 В а р и а н т 1. 1. 2 R 2 . 2. . 3. 48 см. 4. 38,25 см 2 . 5*. . 6*. Решение представлено на рисунке 33.

В а р и а н т 2. 1. 4 r 2 . 2. . 3. 20. 4. 182,25 . 5*. . 6*. Решение представлено на рисунке 34.

62 В а р и а н т 1. 1. 34 см; 34 см. 2. 423 π мм 2 . 3. 100 см 2 . 4. .

В а р и а н т 2. 1. 38 см; 361 см 2 . 2. 63 π мм 2 . 3. 40 дм. 4. .

63 В а р и а н т 1. 1. 9 см 2 . 2. 1 : 36. 3. 7 дм 2 , 63 дм 2 , 343 дм 2 . 4. . 5*. Решение представлено на рисунке 35. 6*. , .

В а р и а н т 2. 1. 16 см 2 . 2. 3 : 1. 3. 200 дм 2 . 4. 80 см 2 и 120 см 2 . 5*. Решение представлено на рисунке 35. 6*. .

64 В а р и а н т 1. 1. а) CD ; б) BD ; в) нельзя определить. 2. 851 см 2 . 3. Равнобедренный треугольник (воспользуйтесь рисунком 36). 4. Равнобедренный треугольник (воспользуйтесь рисунком 37). 6*. Воспользуйтесь рисунком 38.

В а р и а н т 2. 1. Наименьшая – DE ; наибольшая – DF . 2. 0 S 2 . 3. Квадрат (воспользуйтесь рисунком 39). 4. Воспользуйтесь рисунком 40. 5*. Воспользуйтесь рисунком 41. 6*. Воспользуйтесь рисунком 42.

65 В а р и а н т 1. 1. Разрезать по медиане. 2. Разрезать по медианам. 3. Решение показано на рисунке 43. 4. Решение показано на рисунке 44. 5*. Решение показано на рисунке 45.

В а р и а н т 2. 1. Разрезать по прямым, проходящим через вершину треугольника и делящим противоположную сторону на три равные части. 3. Решение показано на рисунке 46. 4. Решение показано на рисунке 47. 5*. Решение показано на рисунке 48.

66 В а р и а н т 1. 1. H (1, 0), P (0, 0). 2. а) (5,5, -6); б) (-5, -3,5). 3. (4, 0). 4. а) (4, -9); б) (4, 9); в) (-4, -9). 5*. Точки вне полосы, ограниченной прямыми x = 5, x = -5. 6*. Точки вне круга с центром в начале координат и радиусом .

В а р и а н т 2. 1. E (0, 1), F (3, 0). 2. а) (3, -5,5); б) (0,4, -2). 3. (0, -3). 4. а) (6, 4); б) (-6, -4); в) (-6, 4). 5*. Точки полосы, ограниченной прямыми y = 4, y = -4. 6*. Внутренние точки круга с центром в начале координат и радиусом .

67 В а р и а н т 1. 1. . 2. x 2 + ( y + 13) 2 = 121. 3. Равнобедренный, . 4. (0, -1). 5*. Да. 6*. (-6, 6), (-30, 30).

В а р и а н т 2. 1. . 2. ( x + 11) 2 + y 2 = 144. 3. Равнобедренный, . 4. . 5*. Нет. 6*. (-4, 4), (20, -20).

68 В а р и а н т 1. 3. а) ; б) .

В а р и а н т 2. 3. а) ; б) .

69 В а р и а н т 1. 3. а) ; б) ; в) ; г) . 4. а) m > 0; б) 0 m 5*. , где 0 a 6*. Указание . Если M не принадлежит KL , то в треугольнике MKL продолжите медиану MO на равный ей отрезок OM 1 и рассмотримте параллелограмм KMLM 1 .

В а р и а н т 2. 3. а) ; б) ; в) ; г) . 4. а) n k > 1, k 5. , где a , где b

70 В а р и а н т 1. 2. а) (1, -1); б) (5, -1); в) (-10, -6); г) (20, -13). 3. а) (-14, -4); б) (8, -2). 4. (9,6, -6,4).

Вариант 2. 2. а) (0, -2); б) (-15, 11); в) (24, 20); г) (12, 9). 3. а) (37, -48); б) (-10, 1). 4. (-6,4, 12).

71 В а р и а н т 1. 1. . 2. а) 8; б) -12; в) 0. 3. Тупоугольный. 4. . 5*. 57.

В а р и а н т 2. 1. 2 . 2. а) 1; б) ; в) 0. 3. Тупоугольный. 4. -6. 5*. 66.

72 В а р и а н т 1. 1. x + 5 = 0. 2. (0, 4), (-2, 0). 3. x – y – 3 = 0, (1, -1). 4. (7, -3). 5*. 2 x + 3 y + 16 = 0, 3 x – 2 y + 11 = 0. 6*. y – 5 = 0.

В а р и а н т 2. 1. y +4 = 0. 2. (0, 2), (12, 0). 3. 3 x + 2 y = 0, (3, 2). 4. (-3, 4). 5*. а) ( x + 1) 2 + ( y – 3) 2 = 9; б) ( x + 0,5) 2 + ( y – 6) 2 = 0,25. 6*. x – 13 = 0.

73 В а р и а н т 1. 1. Первая и четвертая четверти координатной плоскости. 2 . Квадрат, расположенный во второй четверти координатной плоскости. 5*. (1, 2), y + 6 = 0. 6*. .

В а р и а н т 2. 1. Третья и четвертая четверти координатной плоскости. 2 . Прямоугольник, расположенный в четвертой четверти координатной плоскости. 5*. (0, -2), . 6*. F 1 (- , 2), F 2 ( , 2), ( , 0), (- , 0).

74* В а р и а н т 1. 5*. 10,5. 6*. Да.

В а р и а н т 2. 5*. 20. 6*. Да.

75 В а р и а н т 1. 3. а) -2; б) 2,5; в) 0; г) . 4. а) 0; б) ; в) -3; г) . 5*. а) α = 90 ° + 360 ° n , где n – произвольное целое число; б) β = 180 ° n , где n – произвольное целое число. 6*. а) -90 ° + 360 ° n ≤ γ ≤ 90 ° + 360 ° n , где n – произвольное целое число; б) -30 ° + 180 ° n γ ° + 180 ° n , где n – произвольное целое число.

В а р и а н т 2. 3. а) 0; б) 0; в) ; г) . 4. а) 0; б) ; в) ; г) -1. 5*. β = -180 ° + 360 ° n , где n – произвольное целое число; б) α = 90 ° + 180 ° n , где n – произвольное целое число. 6*. а) 360 ° n ° + 360 ° n , где n – произвольное целое число; б) -45 ° + 180 ° n ≤ ≤ 45 + 180 ° n , где n – произвольное целое число.

В а р и а н т 1. 2. а) (-1, 0); б) (0, -2). 3. а) Окружность с центром в начале координат и радиусом 1; б) луч с вершиной в начале координат, составляющий с полярной осью угол . 4. r cos ϕ = -2. 5*. . 6*. .

В а р и а н т 2. 2. а) ( , ); б) (2 , ), б) Да. 3. а) Луч с вершиной в начале координат, составляющий с полярной осью угол 30 ° ; б) Окружность с центром в начале координат и радиусом 2. 4. r sin ϕ = -1. 5*. . 6*. .

§ 3. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Контрольная работа № 1

В а р и а н т 1

1. Найдите площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне и высоте, опущенной на основание, которые равны соответственно 5 см и 2 см.

2. Найдите площадь параллелограмма, две высоты которого равны 3 см и 2 см, и угол равен 60 ° .

3. Площадь ромба равна 367,5 дм 2 . Найдите диагонали ромба, если они относятся как 3 : 5.

4. Найдите площадь трапеции, у которой основания равны 19 см и 5 см, а боковые стороны 15 см и 13 см.

5*. Внутри треугольника ABC взята точка M такая, что площади треугольников AMB , BMC и AMC равны. Докажите, что M – точка пересечения медиан данного треугольника.

В а р и а н т 2

1. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 9 см.

2. Найдите площадь параллелограмма, если его периметр и высоты равны соответственно 42 см, 8 см и 6 см.

3. Площадь ромба равна 45 дм 2 . Высота меньше стороны на 4 см. Найдите диагонали ромба.

4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой боковая сторона равна 15 см, диагональ перпендикулярна боковой стороне и равна 20 см.

5*. Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой внутри правильного треугольника до его сторон, есть величина постоянная, равная высоте данного треугольника.

Контрольная работа № 2

В а р и а н т 1

1. Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 2 дм.

2. Площади двух кругов относятся как 9 : 4, а разность их радиусов равна 4,5 см. Найдите длины их окружностей.

3. Сектор, дуга которого содержит 60 ° , равновелик кругу радиуса 7,8 см. Найдите радиус сектора.

4. На стороне треугольника взята точка, которая разделила ее в отношении 3 : 5. Из точки проведены прямые, параллельные двум другим сторонам треугольника. Найдите площадь образовавшегося параллелограмма, если площадь треугольника равна 120 мм 2 .

5*. Найдите отношение площадей данного треугольника и треугольника, сторонами которого являются медианы данного треугольника.

В а р и а н т 2

1. Найдите площадь правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен 3 дм.

2. Разность длин окружностей двух кругов равна длине окружности третьего круга, радиус которого равен 40 см. Найдите площади первых двух кругов, если их радиусы относятся как 5 : 3.

3. Найдите площадь сегмента круга, радиуса 4 см, если его хорда равна см.

4. Каждая сторона треугольника разделена точками в отношении 2 : 3 : 2. Найдите площадь шестиугольника, вершинами которого являются точки деления, если площадь треугольника равна 245 мм 2 .

5*. В равностороннем треугольнике ABC , площадь которого равна Q , от вершины A на сторонах AB и AC отложены соответственно отрезки AE и AF , равные каждый третьей части стороны треугольника. Точки E и F соединены отрезками с противоположными вершинами, которые пересекаются в точке D . Найдите площадь образовавшегося четырехугольника AEDF .

Контрольная работа № 3

В а р и а н т 1

1. Найдите длину отрезка CD , если: а) C (0, -1), D (-5, 6); б) C (7, -3), D (-4, -4).

2. Найдите координаты середины отрезка QP , если : а) Q (-5, -8), P (25, 3); б) Q (-18, 6), P (6, 18).

3. Найдите координаты центра окружности x 2 + y 2 + 14 y – 18 x + 135 = 0.

4. Найдите на оси абсцисс точку одинаково удаленную от точек E (-4, 2) и F (7, -4).

5*. Найдите ГМТ координатной плоскости, для которых | y + 2| ≤ 1.

В а р и а н т 2

1. Найдите длину отрезка EF , если: а) E (-1, 1), F (5, -12); б) E (-6, 0), F (-9, 7).

2. Найдите координаты середины отрезка RT , если : а) R (9, -17), T (0, -15); б) R (24, -6), T (-5, -8).

3. Найдите радиус и координаты центра окружности y 2 + x 2 – 22 y + 10 x + 134 = 0.

4. Найдите на оси ординат точку одинаково удаленную от точек G (7, 5) и H (-1, -3).

5*. Найдите ГМТ координатной плоскости, для которых | x – 1| ≥ 2.

Контрольная работа № 4

В а р и а н т 1

1. В параллелограмме ABCD , диагонали которого пересекаются в точке O , найдите: а) ; б) ; в) .

2. Дан вектор (-5, 8). Найдите координаты точки: а) H , если G (-6, 1); б) G , если H (2, -10).

3. При каком значении m перпендикулярны векторы – и 2 + 3 m , если (-1, 2), (6, -4).

4. Запишите уравнение прямой, которая имеет вектор нормали (5, -1) и проходит через точку K (10, -9).

5*. Докажите, что для любой точки X , принадлежащей отрезку AB и произвольной точки O плоскости справедливо равенство , где .

В а р и а н т 2

1. В треугольнике ABC медианы AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в точке M . Найдите: а) ; б) ; в) .

2. Дан вектор (9, -4). Найдите координаты точки: а) K , если N (1, -8); б) N , если K (-5, 4).

3. При каком значении n перпендикулярны векторы 2 + и n – 3 , если (-2, 1), (3, -5).

4. Запишите уравнение прямой, которой принадлежит точка P (-12, 8) и которая имеет вектор нормали (-3, -4).

5*. Докажите, что для любой точки X , принадлежащей лучу AB и произвольной точки O плоскости справедливо равенство , где .

Контрольная работа № 5

В а р и а н т 1

1. Нарисуйте многоугольник, который задается неравенствами: а) б)

2. Найдите: а) sin(-135 ° ); б) tg(-300 ° ) ctg 210 ° .

3. Упростите выражение: а) ; б) .

4. Найдите декартовы координаты точки, если ее полярные координаты равны: а) (1, ); б) .

5*. Найдите ГМТ, координаты которых удовлетворяют равенству y = | x | + 2.

В а р и а н т 2

1. Нарисуйте многоугольник, который задается неравенствами: а) б)

2. Найдите: а) cos(-150 ° ); б) tg(315 ° ) ctg(-240 ° ).

3. Упростите выражение: а) ; б) .

4. Найдите декартовы координаты точки, если ее полярные координаты равны: а) (2, - ); б) .

5*. Найдите ГМТ, координаты которых удовлетворяют равенству | y | = x – 1.

*Контрольная работа № 6

В а р и а н т 1

1. Сколько прямых проходит через: а) одну точку; б) две точки; в) три точки?

2. Найдите сумму всех плоских углов пятиугольной пирамиды.

3. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Найдите углы между прямыми: а) AB и BB 1 ; б) A 1 C 1 и C 1 D ; в) AC и DC .

4. Наименьшее и наибольшее расстояния от точки, расположенной вне сферы до точек сферы равны соответственно 12 см и 75 см. Найдите радиус сферы.

5*. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько у него вершин и граней, если он имеет 12 ребер? Изобразите этот многогранник (или многогранники).

В а р и а н т 2

1. Сколько плоскостей проходит через: а) одну точку; б) две точки; в) три точки?

2. Найдите сумму всех плоских углов шестиугольной призмы.

3. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Найдите углы между прямыми: а) B 1 C 1 и C 1 C ; б) BD и BC 1 ; в) DC 1 и D 1 C .

4. Наибольшее и наименьшее расстояния от точки, расположенной внутри сферы до точек сферы равны соответственно 38 см и 19 см. Найдите радиус сферы.

5*. Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет 12 ребер? Изобразите этот многогранник (или многогранники).

№ 1 В а р и а н т 1. 1. см 2 . 2. см 2 . 3. 21 дм, 35 дм. 4. 144 см 2 .

В а р и а н т 2. 1. 20,25 см 2 . 2. 72см 2 . 3. , . 4. 192 см 2 .

№ 2 В а р и а н т 1. 1. см 2 . 2. 18 см, 27 см. 3. 7,8 см. 4. 56,25 мм. 5. 4 : 3.

В а р и а н т 2. 1. см 2 . 2. 10000 см 2 , 3600 см 2 . 3. см 2 . 4. 185 мм 2 . 5. .

№ 3 В а р и а н т 1. 1. а) ; б) . 2. а) (10, -2,5); б) (-6, 12). 3. (9, -7), . 4. ( , 0). 5. Полоса, ограниченная прямыми y = -3 и y = -1.

В а р и а н т 2. 1. а) ; б) . 2. а) (4,5, -16); б) (9,5, -7). 3. (-5, 11), . 4. (0, 4). 5. Точки вне полосы, ограниченной прямыми x = -1 и x = 3.

№ 4 В а р и а н т 1. 1. а) ; б) ; в) . 2. а) H (-11, 9); б) G (7, -18). 3. . 4. 5 x – y – 59 =0.

В а р и а н т 2. 1. а) ; б) ; в) . 2. а) K (-8, -4); б) N (4, 36). 3. -36. 4. 3 x + 4 y +4 =0.

№ 5 В а р и а н т 1. 2. а) ; б) 3. 3. а) ; б) . 4. а) (0, 1); б) ( , - ). 5*. Два луча с вершиной в точке (0, 2), составляющих с осью Oy угол 45 .

В а р и а н т 2. 2. а) ; б) . 3. а) ; б) 0. 4. а) (0, -2); б) ( , ). 5*. Два луча с вершиной в точке (1, 0), составляющих с осью Ox угол 45 ° .

№ 6 В а р и а н т 1. 1. а) Бесконечно много; б) одна; в) одна или ни одной. 2. 1440 ° . 3. а) 90 ° ; б) 60 ° ; в) 45 ° . 4. 31,5 см. 5. 6 вершин, 8 граней; октаэдр, любая четырехугольная бипирамида.

В а р и а н т 2. 1. а) Бесконечно много; б) бесконечно много; в) одна или бесконечно много. 2. 3600 ° . 3. а) 90 ° ; б) 60 ° ; в) 90 ° . 4. 28,5 см. 5. 8 вершин, 6 граней; куб, любая четырехугольная призма и четырехугольная усеченная пирамида.

Тест № 1 «Площадь четырехугольников»

1. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 4 см и 6 см, а один из углов равен 30 ° .

2. Площадь параллелограмма равна 24 см 2 . Найдите расстояние между его сторонами, равными 8 см.

3. В параллелограмме, площадь которого равна 72 дм 2 , стороны равны 6 дм и 10 дм. Найдите его высоты.

4. Площадь параллелограмма равна 36 см 2 . Расстояния от точки пересечения диагоналей до его сторон равны 2 см и 3 см. Найдите периметр параллелограмма.

5. Найдите площадь параллелограмма по двум его высотам h 1 и h 2 и периметру 2 p .

6. Как изменится площадь прямоугольника, если одну из его сторон увеличить в 12 раз?

1) Увеличится в 12 раз.

2) Уменьшится в 6 раз.

3) Увеличится в 6 раз.

4) Увеличится в 144 раза.

7. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как 2:5, а его площадь равна 400 см 2 .

8. Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какой из них имеет большую площадь?

3) Площади равны.

4) Нельзя определить.

9. Площадь прямоугольника равна 400 см 2 . Одну из его сторон увеличили в 2 раза, а другую уменьшили в 4 раза. Найдите площадь получившегося прямоугольника.

10. Найдите площадь участка, имеющего форму прямоугольника, в гектарах, если его стороны равны 100 м и 300 м.

11. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 6 см и 8 см.

12. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна d .

13. В прямоугольнике, стороны которого равны 1 см и 3 см, проведены до взаимного пересечения биссектрисы двух углов при большой стороне. Найдите площадь получившегося четырехугольника.

14. Площадь ромба равна 2 м 2 , тупой угол равен 150 ° . Найдите периметр ромба.

15. Площадь ромба равна 18 дм 2 . Найдите его диагонали, если они относятся как 1:4.

16. Высота трапеции равна 12 см, площадь – 120 см 2 . Найдите ее среднюю линию.

17. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 15 см и 17 см, и боковая сторона составляет с одним из оснований угол 45 ° .

18. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой меньшие стороны равны по 12 см каждая, а наибольший угол равен 135 .

19. Основания равнобедренной трапеции равны 9 см и 5 см, боковые стороны равны средней линии. Найдите ее площадь.

20. Площадь трапеции равна 60 см 2 , а ее высота равна 2 см. Найдите основания трапеции, если они относятся как 5:7.

1) 25 см и 35 см.

2) 30 см и 42 см.

3) 10 см и 14 см.

Тест № 2 «Площадь треугольника»

1. Два треугольника имеют по равной стороне. Как относятся их площади?

2) Как периметры.

3) Как высоты, проведенные к данным сторонам.

4) Нельзя определить.

2. Две стороны треугольника равны 8 см и 6 см. Высота, проведенная к первой стороне равна 12 см. Найдите высоту, проведенную ко второй стороне.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите его высоты.

1) 5 см, 4 см, 12 см.

2) 2,5 см, 6 см, 13 см.

3) 5 см, 8,5 см, 12 см.

4) 25 см, 144 см, 169 см.

4. Найдите площадь прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза равна 5 см, а один из катетов равен 4 см.

5. Найти площадь прямоугольного равнобедренного треугольника по его гипотенузе c .

6. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 1.

7. Найдите квадрат стороны правильного треугольника, если его площадь равна Q .

8. Найдите площадь равностороннего треугольника по его высоте h .

9. Найдите высоту ромба, если его диагонали относятся как 3:4, а площадь равна 96 см 2 .

10. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 6 см, а боковая сторона равна 10 см.

11. Как относятся площади фигур, на которые разделен треугольник своей средней линией?

12. Стороны треугольника равны 10 см и 16 см, угол между ними равен 60 ° . Найдите площадь треугольника.

13. Во сколько раз площадь параллелограмма больше площади четырехугольника, вершины которого находятся в серединах сторон данного параллелограмма.

14. На стороне треугольника взята точка, из которой проведены прямые, параллельные двум другим сторонам. Найдите площадь получившегося четырехугольника, если площадь данного треугольника равна 60 см 2 .

15. В каких пределах находится площадь ( S ) треугольника со сторонами 9 см и 2 см?

16. Найдите наибольшую площадь треугольника, имеющего стороны 10 см и 20 см.

17. На сколько равновеликих треугольников разбивается треугольник своими медианами?

4) Нет равновеликих треугольников.

18. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите его площадь.

19. Стороны треугольника относятся как 4:13:15. Площадь равна 96 см 2 . Найдите его стороны.

1) 8 см, 26 см, 30 см.

2) 2 см, 6,5 см, 7,5 см.

3) 16 см, 52 см, 60 см.

20. Медианы равнобедренного треугольника равны 15 дм, 18 дм, 15 дм. Найдите площадь этого треугольника.

Тест № 3 «Площадь круга и правильных многоугольников»

1. Найдите площадь круга, диаметр которого равен 4 см.

2. Найдите радиус круга, если его площадь равна 45 π дм 2 .

3. Найдите диаметр круга, площадь которого равнялась бы сумме площадей двух кругов радиусов 4 см и 3 см.

4. Радиус окружности разделен пополам, и через точку деления проведена окружность, концентрическая данной окружности. Найдите отношение площадей соответствующих кругов.

5. Радиус окружности разделен на три равные части, и через точки деления проведены окружности, концентрические данной. Найдите отношения площадей частей, на которые они разделили соответствующий круг.

6. Найдите площадь круга, описанного около равностороннего треугольника со стороной 3 см.

7. Найдите площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной, равной 6 см.

8. Найдите отношение площадей кругов, вписанного и описанного около единичного квадрата.

9. Найдите площадь части круга (сектора), лежащего внутри центрального угла в 45 ° , если радиус круга равен 8 дм.

10. Какую часть площади круга занимает сектор, если его центральный угол равен 150 ° ?

11. Сколько градусов содержит центральный угол сектора, если он составляет площади круга.

12. Найдите площадь кольца, заключенного между концентрическими окружностями радиусов R и r ( R>r ).

13. Найдите отношение площадей равностороннего треугольника и квадрата, периметры которых равны.

14. Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 4 см.

15. Найдите площадь части круга радиуса 2 см, расположенной вне вписанного в этот круг правильного шестиугольника.

16. Периметры правильных многоугольников относятся как 2:3. Найдите отношение их площадей.

17. Найдите отношение площадей правильных шестиугольников, один из которых вписан, а другой описан около данной окружности.

18. Около окружности радиуса 24 см описан многоугольник, площадь которого равна 96 см 2 . Найдите периметр многоугольника.

19. Найдите площадь правильного n -угольника, вписанного в круг радиуса R .

4) 2 n 2 R 2 cos .

20. В окружность вписан правильный треугольник, площадь которого равна Q , а в треугольник вписана окружность. Найдите площадь получившегося кольца.

Тест № 4 «Координаты и векторы на плоскости»

1. На прямой, перпендикулярной оси абсцисс, взяты две точки. У одной абсцисса равна -2. Чему равна абсцисса другой точки?

4) Нельзя определить.

2. На прямой, параллельной оси ординат, взяты две точки. Абсцисса одной из них равна 5. Чему равна ордината другой точки?

4) Нельзя определить.

3. Из точки A (-1, 8) опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите координаты его основания.

4. Через точку B (5, -4) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите координаты ее точки пересечения с осью ординат.

5. Найдите координаты середины отрезка CD , если C (0, -9) и D (-5, 16).

6. Найдите геометрическое место точек на координатной плоскости, для которых x =- y .

1) Прямые, параллельные оси абсцисс.

2) Биссектрисы первого и третьего координатных углов.

3) Биссектрисы второго и четвертого координатных углов.

4) Прямые, перпендикулярные оси абсцисс.

7. Найдите расстояние между точками M (0, -8) и N (-1, 0).

8. Напишите уравнение окружности с центром в точке O (-2, 7), проходящей через начало координат.

2) ( x -2) 2 +( y +7) 2 =9.

3) ( x +2) 2 +( y- 7) 2 =53.

9. На оcи ординат найдите точку, одинаково удаленную от точек E (1, 2) и F (3, 4).

10. Сколько неравных векторов определяют вершины параллелограмма?

11. Сколько пар равных векторов определяют вершины квадрата?

12. Найдите сумму векторов .

13. Сторона равностороннего треугольника KLM равна a . Найдите | |.

14. В прямоугольном треугольнике ABC ( C =90 ° ) стороны AC =6 см и BC =8 см. Найдите | |.

15. В треугольнике FGH точки M и N – середины соответственно сторон FG и GH . Выразите вектор через векторы и .

16. При каком расположение векторов и достигается равенство | - |=| |-| |?

2) Противоположно направлены.

3) Лежат на одной прямой.

4) Лежат на параллельных прямых.

17. Найдите координаты вектора , если P (1, -3) и Q (3, -1).

18. Вектор имеет координаты (9, -12). Найдите координаты точки C , если A (-6, 5).

19. Найдите скалярное произведение векторов и , если A (0, -5), B (3, 6), C (-8, 10).

20. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы 2 +4 и 5 -4 перпендикулярны?

Тест № 5 «Элементы стереометрии»

1. Сколько плоскостей можно провести через две точки?

4) Бесконечно много.

2. Две плоскости имеют общую точку. Какой фигурой является их пересечение?

3. При каком расположении трех точек через них можно провести бесконечно много плоскостей?

1) Не принадлежат одной прямой.

2) Принадлежат одной прямой.

3) Являются вершинами равностороннего треугольника.

4) Принадлежат одной окружности.

4. Какое наименьшее число граней может иметь многогранник?

5. Сколько ребер у пятиугольной призмы?

6. Сколько граней у двенадцатиугольной пирамиды?

7. Какой многоугольник лежит в основании призмы, которая имеет 9 граней?

8. Какой многоугольник лежит в основании пирамиды, у которой 24 ребра?

9. Сколько плоских углов имеет гексаэдр?

10. Найдите сумму всех плоских углов шестиугольной призмы.

11. Найдите сумму всех плоских углов семиугольной пирамиды.

12. Сколько вершин у додекаэдра?

13. Сколько ребер у икосаэдра?

14. Какое наименьшее число цветов нужно взять, чтобы правильно раскрасить поверхность октаэдра? (Соседние грани должны иметь разные цвета.)

15. Сколько граней имеет усеченный тетраэдр? (Усеченный тетраэдр получается из правильного тетраэдра проведением четырех плоскостей, каждая из которых отсекает третью часть ребер, выходящих из одной вершины.)