Интегрирование дифференциальных уравнений (Егоров)/1

Обыкновенные дифференциальные уравнения [ править ]

F ( x , y , y ′ , y ″ , y ‴ , … y ( n ) ) = 0 , ( 3eq1. )

Пусть дано уравнение

Полученное уравнение — алгебраическое относительно всех аргументов, но уже не 1-го порядка, а высшего второго порядка. Таким образом, уничтожение трансцендентностей произошло за счет увеличения порядка дифференциального уравнения. Обыкновенно ограничиваются требованием алгебраичности только относительно y и его производных; например, рассматривают уравнение хотя бы такого вида:

При более общей постановке задачи ограничиваются предположениями, упомянутыми в самом начале.

Общее решение дифференциального уравнения [ править ]

Рассмотрим простейший случай дифференциального уравнения

Интегрирование этого уравнения сводится к нахождению квадратуры

Пусть, наоборот, нам задано соотношение вида

Φ ( x , y , C 1 , C 2 , … C n ) = 0 . ( 5eq1. )

< Φ ( x , y , C 1 , C 2 , … C n ) = 0 ∂ Φ ∂ x + ∂ Φ ∂ y y ′ = 0 ∂ 2 Φ ∂ x 2 + 2 ∂ 2 Φ ∂ x ∂ y y ′ + ∂ 2 Φ ∂ y 2 y ′ 2 + ∂ Φ ∂ y y ″ = 0 … ∂ n − 1 Φ ∂ x n − 1 + n − 1 1 ∂ n − 1 Φ ∂ x n − 2 ∂ y y ′ + ⋯ + ∂ Φ ∂ y y ( n − 1 ) = 0 ∂ n Φ ∂ x n + n 1 ∂ n Φ ∂ x n − 1 ∂ y y ′ + ⋯ + ∂ Φ ∂ y y ( n ) = 0 \\]

Это --- дифференциальное уравнение 1-го порядка; ему можно удовлетворить, положив

где "C" --- произвольное постоянное. Действительно, подставляя "y' = C", получаем

то есть тождество. Итак,

есть решение данного дифференциального уравнения. %/* Докажем, что оно действительно общее. Для интеграла

Исключая из нее "C", имеем

то есть исходное уравнение. Значит, в соответствии с нашим определением, "y=Cx+C^2" --- общее решение уравнения "y=xy'+%Le\con sur la theorie analytique des equations differentielles. %Paris, 1897. = vres. T. 1. Paris, 1971]>

%%% \begin[\r Г. Энештрем] Тот факт, что интегрирование дифференциального уравнения первого порядка вводит произвольную константу, был известен уже к концу 17 века, но аналитики конца 17-го - начала 18 веков не предавали ему особого значения и порой забывали об этом. Так \footnote обосновывал соотношение "\mbox (-z) = \mbox(z)" тем, что

Первые из рассмотренных дифференциальных уравнений порядка "n>1" были проинтегрированы путем сведения к дифференциальным уравнениям первого порядка; при этом не уделяли внимания числу произвольных констант, содержащихся в их в общем решении. При изучении уравнения "y^=f(x)" Ньютон между тем заметил, что к общему решению этого уравнения следует прибавить еще произвольный полином степени "n-1", "n"-ая производная от которого равна нулю. В <<Методе приращений>> \footnote было изучено число условий, которым может быть подчинен интеграл системы дифференциальных уравнений. Только в 1739-1740 \footnote недвусмысленно заметил, что по природе самого интегрирования общее решение дифференциального уравнения четвертого порядка содержит четыре произвольные константы и наоборот, решение дифференциального уравнения четвертого порядка, содержащее четыре произвольные константы, является общим интегралом. \end

Заметим, что выше между прочим мы нашли способ, при помощи которого для любого семейства кривых "\Phi(x,y,C_1, \dots, C_n)=0" можно построить дифференциальное уравнение, которому оно удовлетворяет. Именно, для этого надо составить систему \eqref и исключить из нее "C_1, \dots C_n". Этот метод называют \emph и весьма полезен при исследовании свойств таких семейств кривых.

Мы видели, что исключением "n" постоянных из соотношения \eqref получаем, вообще говоря, дифференциальное уравнение "n"-го порядка. Само исключение можно вести так: возьмем первые из "n" уравнений системы \eqref, то есть систему \begin \label \left \<