Решение. Подставим значения коэффициентов в уравнения движения точки. Уравнения примут вид:

1 Задача К 1. Материальная точка M движется в плоскости, на которой введена, прямоугольная декартова система координат xoy. Движение точки задано координатным способом: x = x(t), y = y(t). Координаты точки: x и y - измеряются в метрах, а аргумент t - в секундах. На рисунках в таблице 13 к задаче K1 приведены уравнения движения точки и показана форма ее траектории. В таблице 12 исходных данных даны значения коэффициентов D (m), D (m), D (m), D (m), определяющих уравнение движения точки, и параметр T, через который выражается момент времени t. Определить в заданный момент времени t все кинематические характеристики движущейся точки: уравнение траектории, координаты точки, скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории и закон движения точки по траектории. Изобразить на рисунке полученные результаты. Дано: D (m) = 3 D (m) = 3 D (m) = 2 D (m) = 2 T = 2 Решение x = D cos π 3 t + D y = D sin π 3 t + D Подставим значения коэффициентов в уравнения движения точки. Уравнения примут вид: x = 3 cos π 3 t 3 (1) y = 2 sin π 3 t + 2 (2) 1. Определим уравнение траектории движущейся точки. Преобразуем уравнения следующим образом: x = 3 cos π 3 t 3 y = 2 sin π 3 t + 2 x + 3 = 3 cos π 3 t y 2 = 2 sin π 3 t

2 (x + 3) = 9 cos π 3 t (x + 3) = 9 cos π (y 2) = 4 sin π 3 t 3 9 t 4 (y 2) = sin π 3 t (x + 3) = 9 cos π 3 t (3) 9 4 (y 2) = 9 sin π 3 t (4) Сложим, левые и правые части уравнений (3),(4) получим: (x + 3) (y 2) = 9 cos π 3 t + sin π 3 t (x + 3) (y 2) = 9 (5) Уравнение (5) получено на основании основного тригонометрического тождества. Разделим левую и правую часть уравнения (5) на 9 получим: (x + 3) (y 2) = 1 (6) Уравнение (6) можно переписать в виде: (x + 3) (y 2) = 1 (7) Уравнение (7) является уравнение эллипса с центром в точке O ( 3,2), с длиной большой полуоси a = 3 м и малой полуоси b = 2 м. Покажем на рисунке уравнение траектории материальной точки M.

3 2. Определим координаты движущейся материальной точки M в момент времени t = T = 2 с. x(t ) = x(2) = 3 cos π = 3 cos 4 π 3 = 1.5 м (8) 3 y(t ) = y(2) = 2 sin π = 2 sin 4 π + 2 = м (9) 3 3. Определим скорость движущейся точки. Предварительно найдем скорость материальной точки M в проекциях на координатные оси. v (t) = x (t) = 3 cos π 3 t 3 = 2 π t sin π 3 t (10) v (t) = y (t) = 2 sin π 3 4 π t t + 2 = cos π 3 3 t (11) Определим величины проекций модуля вектора скорости в заданный момент времени t = 2 с. v (t ) = v (2) = 2 π 2 sin 4 π 3 = м с v (t ) = v (2) = 4 π 2 3 cos 4 π 3 = м с (12) (13) Находим полную скорость материальной точки M в заданный момент времени по формуле: v(t ) = v(2) = v (2) + v (2) = ( ) + ( 4.188) = м с 4. Определим полное ускорение материальной точки. Предварительно вычислим проекции ускорения на координатные оси. Используя выражения (10) и (11) получим: a (t) = v (t) = 2 π t sin π 3 t = = 4 π t π t t cos + 2 π sin π (14) a (t) = v (t) 4 π t = cos π 3 3 t =

4 = 8 π t π t 4 π t sin + cos π (15) Вычислим числовые значения проекций ускорения в заданный момент времени. Используя выражения (14) и (15) получим: a (t ) = a (2) = 16 π 3 cos 4 π π + 2 π sin = м (16) с 32 π a (t ) = a (2) = 9 sin 4 π 4 π π + cos = м (17) с Вычислим величину полного ускорения в заданный момент времени: a(t ) = a(2) = a (2) + a (2) = ( 31.76) + (28.296) = м с 5. Вычислим величину касательного ускорения точки: a (t) = dv dt = dv (t) + v (t) = 1 dt 2 2 v (t) a (t) + 2 v (t) a (t) = v (t) + v (t) = v (t) a (t) + v (t) a (t) v (t) + v (t) = v (t) a (t) + v (t) a (t) v(t) (18) Находим величину касательного ускорения точки в заданный момент времени. Используя выражение (18) получим: a (t ) = a (2) = v (2) a (2) + v (2) a (2) = v(2) ( ) ( 31.76) + ( 4.188) = = м с (19) 6. Находим величину нормального ускорения материальной точки: a(t) = a (t) + a (t) (20) Из (20) следует: a (t) = a (t) a (t) (21)

5 Величина нормального ускорения материальной точки в заданный момент времени равна: a (t ) = a (2) = a (2) a (2) = = м с (22) 7. Находим радиус кривизны траектории движущейся материальной точки. a (t) = v (t) R (23) Где R - радиус кривизны. Из выражения (23) находим R. R = v (t) (24) a (t) Находим радиус кривизны траектории движущейся материальной точки в заданный момент времени: R = v (t ) a (t ) = v (2) a (2) = = 3.59 м Запишем закон движения материальной точки M. S(t) = v(t)dt = v (t) + v (t)dt = = 2 π t sin π 3 t 4 π t + cos π 3 3 t (t)dt = 2 π t sin π 3 t cos π 3 t dt Сведем все найденные характеристики движущейся материальной точки M В таблицу. м м м м с с x(t ) y(t ) v (t ) v (t ) v(t ) a (t ) a (t ) a(t ) a (t ) a (t ) R

6 Изобразим на рисунке полученные результаты: Задача K 2. Механизм состоит из двух ступенчатых колес и груза D. Колеса между собой находятся в зацеплении или связаны нерастяжимой ременной передачей. Груз D подвешен к концу нерастяжимой нити, намотанной на один из ободов ступенчатого колеса 1. Закон движения груза D (вниз по вертикальной траектории) задан в таблице 16; x = x(t). В таблице 16 также приведены значения параметров t, μ, H и V. t - заданный момент времени. μ- угол между векторами ускорения точки A (колеса 1) и прямой, соединяющей эту точку с осью вращения, в заданный момент времени. H = R r - разница радиусов внешнего и внутреннего ободов ступенчатого колеса 2. V- параметр, определяющий на рисунках в таблице 17 величину скорости точки B (колеса 2) в заданный момент времени. Определить величину ускорения точки B (колеса 2) в заданный момент времени и найти, какой угол α составляют эти векторы между собой. Дано: x = x(t) = t 15 t 2 t = 3 с μ = 30 Решение

7 H = R r = 0.3 м V = 3 м с R = 5 r 4 V = 1.6 V 1. Находим скорость и касательное и нормальное ускорение точки A. v = dx dt = 15 t t 2 a = dv dt = 3 t 15 2 = 3 t 15 2 (1) = 3 t (2) a = a ctg(μ) (3) Находим найденные значения в заданный момент времени. v (t ) = v 3 = a (t ) = a 3 = 3 3 м с (5) = = 3 м с (4) a (t ) = a 3 = a 3 ctg(30 ) = = 9 м (6) с 2. Определим размеры колеса 1.

8 R = v a = ( 3) = 1 м (7) 9 Так как ступенчатые колеса связаны между собой нерастяжимой передачей, то скорости точек C и E равны v = v. Далее находим: v = v = v r R = = 2.4 м с (8) Найдем размеры колеса 2. v = ω r v = ω R ω = v v R r R = v v v (R r ) (9) Так как, исходя из чертежа скорости точек A, B направлены в одну сторону, а по условию v = 1.6 V. С учетом знака скорости получим: v = 1.6 V = = 4.8 м с (10) Подставляя (8) и (10) в (9) получим: R = = 0.6 м, r = = 0.3 м (11) 3. Найдем угловую скорость ступенчатого колеса 1. ω = v = 3 t 15 R 2 1 (12) Так как ступенчатые колеса связаны между собой нерастяжимой передачей, соединяющие между собой внутренние обода колес, то отношение угловых скоростей обратно пропорционально размерам этих ободов : ω = r ω ω r = ω r = 3 t 15 r = 3 t 15 4 r 2 r = = 4 3 (3 t 15) = 4 t 20 (13) 4. Найдем ускорение ступенчатого колеса 2.

9 ε = dω dt = d(4 t 20) dt Отсюда находим: = 8 t (14) a = ε R = 8 t 0.6 = 4.8 t (15) В момент времени t = 3 с получим: a (t ) = м с a = ω R = (4 t 20) 0.6 = 9.6 (t 5) (16) В момент времени t = 3 с получим: a (t ) = = 26.4 м с Определим угол μ при t = 3 с tg(μ) = a (t ) a = = μ (t ) 26.4 Так как знаки a и v в момент времени t = 3 с различны, то точка B движется замедленно и следовательно угол α между скоростями и ускорениями точки будет равен: α = μ + π 2 = Величина полного ускорения точки B в момент времени t = 3 с будет равна: a(t ) = a (t ) + a (t ) = = м с Задача K 3. Плоский механизм состоит из четырех звеньев и колеса, которое катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания (таб. 19). Размеры первых двух звеньев L = 0.4 м, L = 1 м и R = 0.2 м. Размеры остальных звеньев заданы в таблице 18. Части механизма соединены между собой шарнирами. Одно из звеньев соединено с центром колеса, другое с его ободом.

10 Положение частей плоского механизма определяется углами α, β, γ, φ, ψ заданными в таблице 18. Каждый угол определяет положение соответствующего звена. Все углы откладываются от горизонтального луча, проведенного вправо от соответствующего узла. В заданном положении механизма угловая скорость первого звена направлена против часовой стрелки и задана ω = 4 рад с. Для заданного положения механизма во всех вариантах определить: 1) Положение МЦС всех звеньев механизма, движущихся плоскопараллельно. 2) Скорости всех узлов механизма (точек A, B, C и т.д.) 3) Угловые скорости всех звеньев механизма и колеса. Дано: α = 135 β = 240 γ = 270 φ = 45 ψ = 120 L = 0.4 м L = 1 м L = 1.2 м L = 1 м Решение

11 1.Определяем скорость узла A. v = ω L = = 1.6 м с (1) Звено 2 движется плоскопараллельно. Вектор скорости узла B направлен горизонтально, так как она принадлежит ползуну. Строим, МЦС проводим перпендикуляры к векторам скорости v, v - точка O. 2. Определяем угловую частоту вращения звена 2. ω O A = v ω = v O A = 1.6 рад = с (2) Величину отрезка O A определяем по чертежу O A = м Определяем скорость узла B. v = ω O B = = 3.09 м с (2) Величину отрезка O B определяем по чертежу O B = м Звено 3 движется плоскопараллельно. Вектор скорости узла D направлен горизонтально, так как он принадлежит верхней точке колеса катящегося без скольжения в горизонтальной плоскости. Строим, МЦС проводим перпендикуляры к векторам скорости v, v. Так как линии BO и DO параллельны, следовательно, МЦС бесконечно удален от этих точек. 3. Находим угловую скорость звена 3. ω = v = 0 рад с (3) Находим скорость узла D. Так как угловая скорость вращения звена 3 равна 0 следовательно звено 3 совершает плоскопараллельное перемещение. Отсюда следует, что скорости всех точек звена равны а, следовательно, равны скорости узлов B и D. v = v = 3.09 м с (4) 4. Определим угловую скорость вращения колеса.

12 Так как колесо движется в горизонтальной плоскости без скольжения, следовательно, его МЦС лежит в точке соприкосновения колеса с плоскостью. Отсюда находим: ω к 2 R = v ω к = v 2 R = 3.09 рад = с (5) Находим скорость узла C. v = ω к R = = 1.54 м с (6) 5. Звено 4 движется плоскопараллельно. Вектор скорости узла B направлен вертикально, так как она принадлежит ползуну. Строим, МЦС проводим перпендикуляры к векторам скорости v, v - точка O. Определяем угловую скорость вращения звена 4. ω O C = v ω = 1.54 рад = с (6) Величину отрезка O C определяем по чертежу O C = м Определяем скорость точки E. v = ω O E = = м с (7) Величину отрезка O E определяем по чертежу O E = 0.5 м.