Деление рациональных дробей - ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ - РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

Цель: рассмотреть более сложные задачи, связанные с делением рациональных дробей.

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

1. Выполните деление

2. Разделите дроби

3. Упростите выражение

1. Выполните деление

2. Разделите дроби

3. Упростите выражение

III. Изучение нового материала (основные понятия)

С делением рациональных дробей связано значительное число самых разнообразных задач.

Найдите допустимые значения переменной дробного выражения Представьте это выражение в виде дроби.

Числитель этого выражения имеет смысл при всех значениях х, кроме х = -2 (т. к. делить на нуль нельзя). Упростим это выражение: Знаменатель этого выражения имеет смысл при всех значениях х, кроме х = -3. Преобразуем это выражение: Эта дробь обращается в нуль, если ее числитель 2(3х + 8) = 0. Из этого уравнения найдем х = -8/3.

Теперь разделим числитель данного выражения на знаменатель используя правило деления дробей. Имеем: Итак, данное выражение имеет смысл при всех значениях х таких, что х ≠ -2, х ≠ -3 и х ≠ -8/3. После преобразований данное выражение записано в виде рациональной дроби

Известно, что Найдите величину

По определению частного из равенства получаем: 4b + a = 3(b + a) или 4b + a = 3b + 3a, откуда b = 2а. Теперь найдем величину подставив величину b = 2a. Имеем:

Известно, что Докажите, что

Обозначим отношения a/b и c/d буквой х. Из равенства a/b = х получим a = bх, из равенства c/d = х имеем c = dx. Найдем отношение и отношение Сравнивая полученные отношения (равные одной и той же дроби ), видим, что

При каких натуральных значениях n выражение является целым числом?

В дроби выделим целое выражение. Для этого в числителе дроби надо выделить слагаемое пропорциональное знаменателю Тогда, учитывая правило вычитания дробей, можем записать: Число 2 является целым. Поэтому, чтобы данная дробь была целым числом, надо, чтобы дробь являлась целым числом. Это возможно только в том случае, если натуральное число n + 2 будет делителем числа 9. Число 9 имеет три натуральных делителя: 1, 3 и 9.

Рассмотрим эти случаи. При n + 2 = 1 получаем n = -1 (число отрицательное), что противоречит условию задачи. Для n + 2 = 3 находим n = 1. При n + 2 = 9 имеем n = 1. Итак, только при натуральных значениях n = 1 и n = 7 дробь является целым числом. Убедимся в этом. Для n = 1 данная дробь равна (целое число), при n = 7 дробь равна (также целое число).

Найти целую и дробную часть в выражении

Аналогично предыдущей задаче в числителе дроби надо выделить слагаемые пропорциональные знаменателю, сгруппировав его члены. Получаем:

Тогда, учитывая правило сложения дробей, данное выражение можно записать в виде: Таким образом, данное выражение состоит из целой части 3х2 + 5х +1 и дробной части

Заметим, что в примерах 4 и 5 фактически было проведено деление одного многочлена на другой. Вопрос о делимости многочленов будет рассмотрен на следующем уроке.

IV. Задание на уроке и дома

1. Найти допустимые значения переменной и упростить дробь:

Ответы: а) при х ≠ -4 и х ≠ -5,5;

б) при х ≠ -5 и х ≠ -16/3;

в) при х ≠ -4, x ≠ -3 и х ≠ -5,5;

г) при х ≠ -1,5 и х ≠ -1;

2. Известно, что Найдите:

Ответы: а) -1/3; б) 13/9; в) 13/5; г) (по условию задачи найти а = 2b).

3. Известно, что а2 + 9b2 = 6аb. Найдите.

Ответы: а) 11/4; б) 2; в) 5; г) 19/13 (по условию задачи найти a = -3b).

4. Известно, что Докажите, что:

(указание: обозначьте отношение тогда а = bt и c = td).

5. При каких натуральных значениях n выражение является целым числом:

Ответы: а) n = 1; б) n = 2; в) n = 2 и n = 4; г)n = 3 и n = 7 (указание: в данном дробном выражении выделите целую и дробную части).

6. При каких целых значениях п выражение также является целым числом:

Ответы: а) -4; -2; 0; 2; б) -3; 1; 3; 7; в) 1; 2; 4; 5; г) -11; -5; -3; 3.

7. В дробном выражении найдите целую и дробную части:

Ответы: а) целая часть 0, дробная часть

б) целая часть 0, дробная часть

в) целая часть 3, дробная часть 0;

г) целая часть 2, дробная часть 0;

д) целая часть 2, дробная часть

е) целая часть 2,5, дробная часть

ж) целая часть х - 1, дробная часть

з) целая часть 2х + 3, дробная часть

и) целая часть 3х2 - 5х + 2 , дробная часть

к) целая часть 2х2 + 3х +1, дробная часть (указание: в числителе дроби выделить слагаемые пропорциональные знаменателю).

V. Подведение итогов урока

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.