Погонная индуктивность цилиндрических проводников с аксиальной плотностью тока в сложных функциональных блоках

Предложен аналитический метод расчёта магнитных свойств круглого и полого бесконечно длинных цилиндрических проводников. Метод позволяет: рассчитать радиальные распределения векторного потенциала и индукции магнитных полей, формируемых во внутренней и внешней областях проводника постоянным током; определить величины магнитных потоков во внутренней и внешней областях проводника; вычислить токовую и потоковую погонные индуктивности круглого и полого проводников; найти частотную зависимость добротности цилиндрических проводников и определить масштабы характеристических частот.

Ключевые слова: индуктивность, распределение магнитных полей, магнитный поток, добротность, сложный функциональный блок

Введение В [1] был предложен аналитический метод расчёта потоковой индуктивности токового кольца с конечной радиальной шириной, который основывался на законе Био-Савара-Лапласа для геометрического проводника [2]. Автоматизированный синтез сложных функциональных блоков [3-7] и IP-модулей систем связи и телекоммуникаций требует наличия результатов анализа распределения магнитных полей проводников с учетом конечности поперечного сечения проводника. Сохраняя идеологию методики расчёта, предложенной в [1], рассчитаем погонную индуктивность цилиндрического проводника с аксиальной плотностью тока. Распределение магнитных полей бесконечно длинного круглого проводника с током Расчёт будем проводить исходя из фундаментального уравнения магнитостатики, записанного для векторного потенциала , (1) с калибровкой . (2) Связь индукции магнитного поля с векторным потенциалом находится из соотношения (3) Запишем (1) в цилиндрических координатах с учётом того, что плотность тока имеет только одну аксиальную компоненту, направленную по оси z: . Она порождает поле векторного потенциала, имеющего также только одну компоненту . (4) Оператор Лапласа для декартовой компоненты векторного потенциала, зависящей от радиуса, имеет вид . (5) Предположим, что в (5) плотность тока однородна по поперечному сечению , а проводник имеет конечный радиус R. Из (3) следует, что такое поле векторного потенциала порождает индукцию магнитного поля с одной компонентой . (6) Цилиндрическая поверхность проводника, имеющего радиус R, делит всё пространство, в котором возбуждено статическое магнитное поле, на две области: внутреннюю область ( ), в которой есть ток; и внешнюю область ( ), где тока нет. Поставленная задача очень похожа на задачу электростатики для уравнения Пуассона (внутренняя краевая задача). Тогда для внутренней области (потенциал отмечен индексом «1») уравнение (5) имеет вид , (7) а во внешней области (потенциал отмечен индексом «2») – . (8) В уравнении (5) перейдём к новой функции , где , а (9) - масштаб векторного потенциала. Решение для внутренней области (7) имеет вид , (10) а для внешней области (8) , (11) где с1,с2,с3,с4 – произвольные постоянные. В решении (10) убираем особенность в нуле и выбираем нуль потенциала на оси системы . В этом заключается принципиальное отличие поставленной краевой магнитостатической задачи от электростатической. С учётом этого, получаем с1=с2=0. Постоянные с3 и с4 определяем из условия непрерывности функции и её производной на границе областей . Окончательно решения (10) и (11) примут вид , (12) Радиальное распределение индукции находим из (6) , (13) где - масштаб индукции поля. Индукция линейно растёт во внутренней области , (14) а во внешней области убывает по закону . (15) Индуктивность круглого проводника Наличие двух областей, в которых магнитное поле распределено по разным законам указывает на то, что индуктивность прямолинейного круглого тока складывается из двух частей. Первая часть соответствует индуктивности, которая связана с потоком магнитного поля во внутренней области. В ней силовые линии магнитного поля поперечны линиям плотности тока. В связи с этим её удобно назвать токовой частью индуктивности. Вторая часть соответствует индуктивности, которая связана с магнитным потоком, находящимся во внешней области. Её удобно назвать потоковой частью индуктивности. Если цилиндрический проводник разрезать по оси (см. рис. 1), то видна область, по которой следует интегрировать при вычислении потока во внутренней области. На рис. 1 крестиками указано направление магнитных силовых линий при условии, что плотность тока направлена вдоль оси z. Ось проводника обозначена ОО’, а элементарная площадка интегрирования dS – заштрихована. Вычисляя внутренний поток, получим , (16) где - масштаб потока. Учитывая соотношение (9) и связь , получим для погонной токовой части индуктивности выражение . (17) Как видно из (17), она не зависит от радиуса проводника и с точностью до константы совпадает с магнитной постоянной.

Рис. 1. - Площадка интегрирования при вычислении потока во внутренней области

Проводя аналогичные вычисления во внешней области, получим погонную потоковую индуктивность . (18) При вычислении (18) введён радиус обрезания магнитного поля r0>R. Из (18) видно, что потоковая погонная индуктивность также не зависит от радиуса проводника, но имеет логарифмическую расходимость при . Полная погонная индуктивность, выраженная через токовую индуктивность, имеет вид (19) и также имеет логарифмическую расходимость при . Зависимость полной погонной индуктивности цилиндрического проводника от приведённого радиуса обрезания поля представлена на рис. 2.

Рис. 2. - Зависимость приведённой индуктивности от параметра обрезания поля

Из рис. 2 видно, что при изменении параметра ξ0 в интервале от 5 до 100 приведённая полная индуктивность изменяется в пределах . Это говорит о том, что полная погонная индуктивность может в несколько раз превышать токовую индуктивность того же проводника. Причина, по которой проявляется логарифмическая расходимость полной индуктивности, прозрачна. Решение поставленной задачи удаётся найти для бесконечно длинного проводника (отсутствует зависимость полей от переменной z). Все реальные проводники, используемые в планарных технологиях, имеют конечную длину. Поэтому точное значение параметра обрезания поля и его зависимость от радиуса и длины проводника ждёт своего экспериментального определения. Распределение магнитных полей бесконечно длинного трубчатого проводника с током Для нахождения распределения магнитных полей трубчатого проводника воспользуемся уравнением (5). На рис. 3 представлена геометрия внешней краевой задачи.

Рис. 3. - Геометрические параметры поперечного сечения трубчатого проводника

Предположим, что в (5) плотность тока однородна по поперечному сечению в проводящей области II, ограниченной неравенством . На рис. 3 r1 – радиус полости, R – внешний радиус проводящей области, а направление вектора плотности тока обозначено крестиком. Тогда для областей I и III, в которых нет тока, уравнение (5) приводится к виду (20) а в области II, где течёт ток . (21) Сохраняя те же значения масштабов векторного потенциала A* и индукции магнитного поля B*, выпишем решение для областей: - для области I ; (22) - для области II ; (23) - для области III . (24) В (22) – (24) с1, с2, с3, с4, с5, с6 – произвольные постоянные. В решении (22) убираем особенность на оси и задаём нулевое значение потенциала у1(0)=0. С учетом этого, получаем c1=c2=0. Постоянные с3 и с4 определяем из условия непрерывности функции и её производной на первой границе : , . Постоянные с5 и с6 определяем из подобных условий на границе ξ=1: . Радиальные распределения индукции находим из решений, полученных для потенциала (22) – (24) с учётом (13): - в области I ; (25) - в области II , (26) - области III . (27) Графики радиального распределения приведённой индукции от приведённой радиальной координаты ξ для трёх значений приведённого радиуса полости ξ1=0,2 (кривая 1); ξ2=0,5 (кривая 2); ξ3=0,75 (кривая 3) представлены на рис. 4.

Рис.4. - Радиальное распределение приведённой индукции магнитного поля от приведенной координаты

Из рис. 4 видно, что магнитное поле внутри полости отсутствует, а производная индукции магнитного поля при переходе через внешнюю границу раздела испытывает скачок от значения до значения . Индуктивность трубчатого проводника Наличие трёх областей, в которых магнитное поле распределено по разным законам, указывает на то, что индуктивность прямолинейного трубчатого тока также складывается из двух частей. Первая часть индуктивности, определяемая областью II, является токовой. Вторая часть индуктивности, связанная с магнитным потоком во внешней области, ─ потоковая. Вычисляя потоки в соответствующих областях, получим: - в области II ; (28) - в области III . (29) В (29) по аналогии с (18) введено обозначение - приведённый радиус обрезания магнитного поля в области III. Вычисляем соответствующие потокам погонные индуктивности: - токовая индуктивность ; (30) - потоковая индуктивность . (31) Полная индуктивность единицы длины трубчатого проводника имеет вид . (32) Графики зависимости приведённой погонной токовой индуктивности (30) трубчатого проводника от приведённого радиуса полости ξ1 приведены на рис. 5. Из графика видно, что при малых значениях приведённого радиуса полости ξ1 её значение совпадает со значением (17), полученным для круглого проводника. Поскольку функция (30) не может быть разложена в ряд по малому параметру ξ1, то для этой области малых значений занесём значения приведённой индуктивности с точностью до пятого знака после запятой в табл. 1.

Таблица №1 Значения токовой индуктивности для малых значений приведённого радиуса полости