§ 2.9. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ

С помощью законов Ньютона мы можем не только объяснять наблюдаемые механические явления, но и предсказывать их течение.

Основная (прямая) задача механики

Основная задача механики состоит в нахождении положения и скорости тела в любой момент времени, если известны его положение и скорость в начальный момент времени и действующие на него силы.

Эта задача решается с помощью второго закона Ньютона — основного закона классической механики:

Его часто называют уравнением движения.

Так как ускорение и сила — величины векторные, то уравнение (2.9.1) фактически является компактной записью трех независимых уравнений: тах + F3x + •••• тау + Р2У + Ргу + (2.9.2) таг + F3z +

где ах, ау, аг — проекции вектора ускорения на оси координатной системы отсчета, a Fix, Fiy, Fiz — проекции векторов сил на те же оси. В случае движения на плоскости достаточно двух уравнений в проекциях, а в случае прямолинейного — одного.

Обычно нам бывают известны из опыта силы как функции координат и скоростей. Зная силы и массу, легко определить проекции ускорения с помощью уравнений (2.9.2).

Но ускорение, как вы знаете из кинематики, не определяет однозначно скорость тела и его координаты. Так, в случае постоянной проекции ускорения ах на ось X проекция скорости vx и координата х находятся из уравнений:

Х = Х0 + v0xt + Ц- . (2.9.4)

Таким образом, для определения проекции скорости в произвольный момент времени нужно знать проекцию начальной скорости v0x (проекцию в начальный момент времени t0 = 0), а для определения координаты требуется еще знание начальной координаты

Если же сила меняется с течением времени, то ускорение не остается постоянным. В этом случае формулы (2.9.3) и (2.9.4) уже не будут справедливыми для любого момента времени и зависимость координат и проекций скоростей от времени будет иметь гораздо более сложный вид.

Но по-прежнему для нахождения координат и проекций скоростей нужно знать начальные значения этих величин.

Расчет траектории космического корабля и его скорости в произвольный момент времени с учетом влияния как Земли, так и других планет — пример сложной задачи, решаемой с помощью электронных вычислительных машин. Необходимость использования ЭВМ связана еще и с тем, что космические корабли имеют большие скорости. Поэтому при коррекции траектории корабля необходимо обработать обширную информацию в очень короткое время.

Обратная задача механики

Кроме прямой задачи законы механики позволяют решать и обратную задачу. Она состоит в определении сил по известному или заданному движению, т. е. по зависимости координат, скоростей или ускорений от времени. Такую обратную задачу решил Ньютон, определяя силу тяготения по известным кинематическим законам движения планет (законам Кеплера). В настоящее время подобные задачи решаются при определении формы Земли и расположения в ней горных пород различной плотности посредством точного определения орбит спутников.

Часто приходится решать обратную задачу конструкторам: по заданному условиями работы движению деталей машины им приходится рассчитывать действующие на них силы. Это необходимо для правильного выбора материалов, формы и размеров деталей, обеспечивающих необходимую прочность.

Во многих случаях силы упругости в растянутых тросах можно определить по ускорению, сообщаемому ими телам, не прибегая к непосредственному измерению деформации тросов.

Зная массу тела и силу, можно определить ускорение в любой момент времени. По известному ускорению и начальной скорости можно найти скорость в любой момент времени. Зная скорость и начальные координаты, можно вычислить координаты в любой момент времени.

§2.10. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Познакомимся с методом решения задач механики с помощью электронно-вычислительной машины.

Задачи динамики решаются просто, если все силы, действующие на тело при его движении, остаются постоянными.

Однако вычисления значительно усложняются, если силы, действующие на тело, изменяются в процессе его движения.

Чтобы понять, как делаются подобные расчеты, рассмотрим прямолинейное движение тела, на которое действует сила, зависящая от координаты этого тела. Такая сила действует, на-пример, со стороны пружины на тело, закрепленное на ее конце (рис. 2.26).

Если начало отсчета совместить с концом недеформирован- ной пружины, к которому прикреплено тело, то сила упругости, действующая на тело (точнее, ее проекция на ось X), линейно зависит от его координаты х, т. е. F

(2.10.1) О линейной зависимости силы упругости от деформации гово-рилось в § 2.4 и подробнее она будет рассмотрена в следующей главе. Для нас сейчас важно лишь то, что сила однозначно зависит от координаты тела.

На тело массой тп действует сила упругости, проекция Fx которой определяется выражением (2.10.1). Из второго закона Ньютона (2.10.2)

следует, что ускорение тела равно

Пусть в момент времени t0, принимаемый за начальный, тело имело координату лс0 и скорость v0x. За малый промежуток времени At = t1- i0 (например, 0,1 с, 0,01 сит. д.) скорость тела изменяется очень мало. Ее приближенно можно считать постоянной и для вычисления координаты тела к концу промежутка времени At, т. е. к моменту времени tx, можно воспользоваться уравнением координаты равномерного движения:

Согласно формуле (2.10.3) ускорение тела зависит от его координаты.

Тогда скорость vlx тела к концу промежутка времени At можно вычислить по формуле

r94" style="margin:10px 5px; width: 100%;min-height:280px;">

ao* = 'mX *1/2 = At Х\/2 =

хо + vox 2 Vl/2x = j. At

2 a\/2x k t1 = tQ + At х1 = х0 + + v1/2xAt Vlx = V0x +

Все вычисления очень просты и единообразны, но в то же время трудоемки. До появления электронно-вычислительной техники для вычисления некоторых особенностей движения небесных тел зачастую тратились месяцы и годы. При помощи компьютера подобные вычисления проводятся за несколько минут. Результат нескольких шагов расчета, выданный на экране дисплея, показан на рисунке 2.27.

Этот метод легко может быть распространен на криволинейное движение. Например, если движение тела (материальной точки) происходит все время в одной плоскости и для описания этого движения используются координаты л; и у, то к таблице 3

добавляются еще столбцы для соответствующих значений у, vy и ау. В этом случае формулы, определяющие значения ах и ау, могут включать в себя х, у, vx и vy. Наконец, если нужно исследовать движение нескольких взаимодействующих тел, то для каждого из тел составляется подобная таблица.

Любую задачу динамики материальной точки можно приближенно решить с требуемой точностью. Проще всего это делается с помощью ЭВМ.