4 Дифференциальные уравнения в многомерных фазовых пространствах

Пусть есть два города — A и B — и между ними проведены две дороги. Из города А в какой-то момент вышли Ромео и Джульетта и направились в сторону города B. При этом они решили идти каждый по своей дороге, держась за веревочку длиной 5 метров — Ромео за один конец, Джульетта за другой. Веревочка может не быть натянутой (то есть расстояние между Ромео и Джульеттой может быть меньше 5 метров, но не может быть больше), они могут притормаживать, ускоряться, пропускать друг друга вперед, идти назад и т.д. — двигаться как угодно. Известно, что двигаясь таким образом им удалось попасть из города A в город B.

В другой день из города B в город A выехал воз, нагруженный товаром, а из города A в город B выехал другой воз, тоже нагруженные товаром, и ехали они по разным тропинкам. Возы круглые (если смотреть сверху), их радиус 3 метра.

Пусть x — число лис, y — число кроликов. Если ни одной лисы нет, скорость роста числа кроликов пропорциональна числу самих кроликов (как в мальтузианской модели — какая-то часть популяции воспроизводится за единицу времени). Наоборот, если нет кроликов, то лисы вымирают от голода — за единицу времени какая-то доля популяции погибает. Каждая встреча лисы с кроликом (которые происходят с частотой, пропорциональной произведению x y ) вносит положительный вклад в динамику лис и отрицательный — в динамику кроликов. Запишем дифференциальное уравнение (систему из двух уравнений):

4.2 Дифференциальные уравнения в многомерных пространствах

Теперь мы готовы к тому, чтобы сформулировать общее определение дифференциального уравнения первого порядка с фазовым пространством произвольной размерности.

Пусть z : I → R n — n -мерная вектор-функция, U — фазовое пространство, являющееся некоторой областью в R n , I × U — расширенное фазовое пространство, F : I × U → R n — гладкое отображение. Тогда можно рассмотреть дифференциальное уравнение

Понятия «система дифференциальных уравнений» и «дифференциальное уравнение с многомерным фазовым пространством» эквивалентны. Действительно, рассмотрим, например, систему из двух дифференциальных уравнений:

Здесь ситуация полностью аналогична линейной алгебре: нет никакой разницы между системой линейных уравнений и одним линейным уравнением относительно вектора (например, записанным в матричной форме).

Тогда найдётся такая окрестность U = U δ ( t 0 ) , что на U существует решение z = φ ( t ) уравнения (4.1) , удовлетворяющее условию φ ( t 0 ) = z 0 , и при этом любое другое решение уравнения (4.1) , удовлетворяющее этому же условию, совпадает с φ на некоторой окрестности точки t 0 .

4.3 Автономные системы дифференциальных уравнений

Неверный ответ. Не совсем. Что насчёт ориентации?

Неверный ответ. Нет. Подставьте любое значение t и посмотрите, что получится.

Верный ответ. Верно!

Если кривая задана как траектория некоторой вектор-функции, говорят также, что эта кривая задана параметрически: параметр — это аргумент вектор-функции. Как следует из вопроса 1 , одна и та же кривая может быть задана разными вектор-функциями.

Производная вектор-функции имеет следующую геометрическую интерпретацию: это вектор скорости точки, движущейся вдоль траектории. Естественно изображать векторы скорости на картинке с траекторией вектор-функции, откладывая их от соответствующих точек.

Теперь разберёмся с графиком. В отличие от траектории, которая рисуется в пространстве-образе вектор-функции, график рисуется в декартовом произведении прообраза на образ, то есть в пространстве I × R n . Например, для вектор-функции φ : I → R 2 , это будет картинка в трёхмерном пространстве с координатами t , x , y . Рисуется она так: для каждого значения t ∈ I рисуется точка ( t , x ( t ) , y ( t ) ) , где ( x ( t ) , y ( t ) ) = φ ( t ) . Иными словами, для каждого значения t можно провести плоскость, проходящую через точку ( t , 0 , 0 ) параллельно координатной плоскости O x y , и она должна пересечь наш график в единственной точке ( t , x ( t ) , y ( t ) ) , соответствующий значению функции φ в точке t . (Если вдуматься, здесь всё совершенно аналогично понятию графика для функции одной переменной. Вдумайтесь.)

Формальное определение такое:

Остаётся доказать, что эта траектория единственна. Для конкретного t 0 единственность следует из единственности решения; остаётся доказать, что от выбора t 0 фазовая кривая не зависит. Действительно, уравнение (4.4) автономно, а, следовательно сдвиг по времени начального условия приведёт к такому же сдвигу по времени всего решения. Иными словами, для другого начального момента времени t = t 1 решением будет функция φ 1 ( t ) = φ ( t − t 1 + t 0 ) . Траектории у функций φ и φ 1 совпадают. Следовательно, фазовая кривая единственна. ∎

С интегральными кривыми связаны поля направлений; для фазовых кривых есть похожий объект: векторное поле.

Рассмотрим несколько примеров.

Неверный ответ. Это неверно: у системы (4.5) и начального условия x ( 0 ) = x 0 , y ( 0 ) = y 0 всегда существует тождественное решение x ( t ) = x 0 , y ( t ) = y 0 , а по теореме существования и единственности других решений нет.

Неверный ответ. Это неверно: вся плоскость не может быть фазовой кривой, например, потому что не бывает дифференцируемого отображения из прямой на всю плоскость.

Верный ответ. Верно! У системы (4.5) и начального условия x ( 0 ) = x 0 , y ( 0 ) = y 0 всегда существует тождественное решение x ( t ) = x 0 , y ( t ) = y 0 , а по теореме существования и единственности других решений нет. Траектория постоянной вектор-функции — одна точка.

Неверный ответ. Неверно. Фазовая кривая, стартовавшая вне начала координат, не может попасть в начало координат: это противоречило бы теореме существования и единственности .

Неверный ответ. Не совсем верно. Есть ещё одна фазовая кривая.

Верный ответ. Так и есть!

Неверный ответ. Нет, в данном случае вертикальный луч является полноправной фазовой кривой: ничто не запрещает его рассматривать.

Точка фазового пространства называется особой, если векторное поле в этой точке равно нулю (нулевому вектору). Иными словами, правая часть дифференциального уравнения в особой точке обнуляется. Все остальные точки называются неособыми. Особые точки также называются положениями равновесия (equilibrium point или steady state). Пусть ( x 0 , y 0 ) — особая точка для некоторого дифференциального уравнения. Тогда вектор-функция φ ( t ) ≡ ( x 0 , y 0 ) , тождественно равная этой точке, очевидно, является решением соответствующего уравнения (ведь её производная равна нулевому вектору). Если уравнение удовлетворяет условию теоремы существования и единственности, эта функция является единственным решением уравнения с начальным условием ( x 0 , y 0 ) . Иными словами, если решение начинается в особой точке, то оно вечно живёт в этой особой точке (и, более того, вечно жило в этой точке в прошлом). Никакое другое решение попасть в особую точку не может (но может долго-долго к ней приближаться). Особые точки являются отдельными траекториями и обычно изображаются на фазовом портрете маленькими кружочками.

4.4 Связь между автономными и неавтономными уравнениями

Сейчас мы обсудим одну из версий этого принципа.

Этот принцип работает во всех точках, когда f ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 . В точках, когда это не выполнено можно поменять ролями x и y : выражать не y через x , а x через y . Наконец, когда оба выражения обнуляются: g ( x 0 , y 0 ) = f ( x 0 , y 0 ) = 0 — то эта точка является особой, и в ней не определено поле направлений. ∎

Уравнения на фазовые кривые можно получить, выразив x через y или y через x . Например, из первого уравнения следует, что e t = x ( t ) / x 0 и подставляя это во второе уравнение, имеем:

С помощью теоремы 2 можно было бы получить уравнение на фазовые кривые, не находя явного вида решений. Для этого необходимо перейти к соответствующему неавтономному уравнению

При этом, однако, мы потеряли некоторую информацию: в частности, направление движения по фазовым кривым, а также тот факт, что на самом деле фазовые кривые являются лучами, а не прямыми. Мы также потеряли вертикальные фазовые кривые и фазовую кривую, соответствующую тождественно нулевому решению (она изображается одной точкой). Всё это связано с условием f ≠ 0 в теореме 2 .

Как показывает разобранный пример , для автономного дифференциального уравнения на плоскости можно рассматривать две разные задачи:

1. Найти решения, то есть зависимость x ( t ) и y ( t ) .
2. Найти фазовые кривые, то есть зависимость y от x или x от y .

Можно сказать, что при этом происходит репараметризация фазовых кривых: мы посещаем те же точки фазового пространства, но в другие моменты времени. Сформулируем необходимое определение.

f ( s ) = f ( h ( s ) ) ), s ∈ [ c , d ] , задаёт ту же траекторию, что и исходная вектор-функция f . Переход от функции f к функции f ∘ h называется репараметризацией кривой.

Если представить себе, что на каждой точке кривой написано значение параметра, при котором мы проходим эту точку, то репараметризация — просто изменение «номеров» точек кривой.

Неформально можно сказать, что репараметризация кривой соответствует изменению скорости, с которой мы эту кривую обходим. Теперь легко понять, что при умножении векторного поля на константу мы изменяем скорость движения вдоль фазовых кривых, но не сами фазовые кривые. Более того: аналогичное утверждение справедливо при умножении векторного поля не только на константу, но и на любую положительную функцию.

Неверный ответ. Не вполне верно: на фазовой кривой есть стрелочка, показывающая направление движение. Что произойдёт с этими стрелочками?

Неверный ответ. Нет, это интегральные кривые симметрично отразятся относительно плоскости t = 0 .