Рекомендации по подготовке к выполнению задания 14 (стереометрия) ЕГЭ профильного уровня

1 НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «Московский институт электронной техники» Зеленоград 28 декабря 2017 Рекомендации по подготовке к выполнению задания 14 (стереометрия) ЕГЭ профильного уровня Прокофьев Александр Александрович, Зав.каф. «Высшей математики 1», НИУ МИЭТ, учитель математики ГБОУ г. Москвы «Школа 1298»

2 Сравнение процентов решаемости заданий в ЕГЭ 2016 и 2017 гг. 2

3 Создано разработчиками ЕГЭ Тест на эрудицию. Вопрос: что означает последовательность чисел ? 3

4 Пособие Прокофьева А.А. и Корянова А.Г. издательства Легион по заданию 14 Оглавление Глава 1. Расстояния и углы Расстояние: (1) между двумя точками; (2) от точки до прямой; (3) от точки до плоскости; (4) между скрещивающимися прямыми. Угол между: (1) двумя прямыми; (2) между прямой и плоскостью; (3) между плоскостями. Глава 2. Площади и объёмы (1) Площадь поверхности многогранника; (2) площадь сечения многогранника; (3) объём многогранника. Глава 3. Дополнения (1) Методы построения сечения многогранника плоскостью; (2) векторный метод; (3) координатный метод; (4) задачи на доказательство; (5) опорные задачи. 4

5 Что можно ожидать в качестве задания 14 на экзамене? О сколько нам открытий чудных Готовят 5

6 Задание 14 из демоверсии ЕГЭ 2018 (профильный уровень) 1 6

7 О критериях, строгости обоснования решения и действиях экспертов в случае решений, отличающихся от приведенных в критериях 14 При проверке решений, отличающихся от приведенных в критериях, на первое место выходит квалификация эксперта. Присутствие ответа, совпадающего с приведенным в критериях, еще не является достаточным условием выставления полного балла, а ответа, отличающегося от приведенного в критериях, для выставления нулевой оценки. 7

8 Типичные ошибки при решении задания 14 Типичные ошибки участников экзамена связаны в первую очередь с неверным пониманием логики построения доказательства. Например, доказательство пункта а задания 14 часто начинается так: «Предположим, что треугольник прямоугольный, тогда» в случае, когда нужно доказать, что треугольник прямоугольный; «Пусть прямые параллельны» в случае, когда нужно доказать параллельность прямых. И т. д. Многие участники экзамена неверно применяют признаки: перпендикулярности прямой и плоскости, параллельности плоскостей и т. д., демонстрируют непонимание взаимосвязи элементов геометрической конструкции. При выполнении второго пункта участники: допускают ошибки в геометрических формулах (например, в формулах для вычисления объемов); не считают нужным доказывать неочевидные геометрические утверждения, используемые в решение. Кроме этого участники экзамена допускают большое количество ошибок при построении чертежа. Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников» лекции 5-8. М.: Педагогический университет «Первое сентября» с. 8

9 Особенности первого пункта задания 14 Возможны две ситуации в условии, описывающем геометрическую конфигурацию до формулировки пункта а. Условие до пункта а задания: не содержит числовых данных (в этом случае свойство, которое нужно доказать в пункте а, является общим и выполняется для всех конфигураций описанных в условии); ЕГЭ 2017 На рёбрах АВ и ВС треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N, так что AM : MB = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q середины рёбер DA и DC соответственно. а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду. содержит числовые данные (в этом случае доказываемое свойство обычно является частным и выполняется только для приведенного в условии набора числовых данных и доказательство основывается на вычислениях, то есть сводится к проверке указанного свойства). ЕГЭ

10 Об учебниках по геометрии и теоремах в них (что должен знать эксперт) Признаки параллельных и скрещивающихся прямых, параллельности прямой и плоскости 10

11 Теоремы существования и единственности Задача 11

12 Параллельные прямые 12

13 Задание На рёбрах АВ и ВС треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N, так что AM : MB = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q середины рёбер DA и DC соответственно. а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду. а Разбиваем APMQNC на три треугольных пирамиды CAPM, PCQN и PCMN. б Прокофьев А.А. Пособие по геометрии для подготовительных курсов. Часть III (стереометрия). М.: МИЭТ, 2001, 272 стр. 13

15 Признак параллельности плоскостей и свойства параллельных плоскостей (что должен знать эксперт) 15

16 Теорема о трех перпендикулярах 16

17 Демовариант. Решение задания

18 Перпендикулярность прямой и плоскости 18

19 14 ЕГЭ 2017 (основной экзамен)

20 14 О неверных доказательствах (примеры и действия экспертов) ЕГЭ

21 Пример задания 14 и его решение 14 ЕГЭ

22 Решение задания

23 Перпендикулярность двух плоскостей 23

24 ЕГЭ 2017 (основной экзамен) 14 24

25 ЕГЭ 2017 (основной экзамен) Из точки Р опускаем перпендикуляры на АВ и DC. Они являются перпендикулярами к плоскости, опущенными из одной точки. Следовательно, должны совпадать, то есть совпадать с PK. 25

26 Вычисление расстояния от точки до плоскости Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. 1. Метод, основанный на использовании определения 14 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ребра которой равны 1, найти расстояние от точки A до плоскости A 1 B 1 C. Прямая FC перпендикулярна AE и AA 1, поэтому перпендикулярна плоскости A 1 AE. Пусть FC AE = G. Плоскость A 1 AE перпендикулярна плоскости A 1 B 1 C, содержащей прямую FC, и пересекает ее по прямой A 1 G. Пусть AH высота в треугольнике AA 1 G, то есть прямая AH перпендикулярна прямой A 1 G, значит, и AHBA 1 B 1 C. Находим высоту AH. 26

27 Вычисление расстояния от точки до плоскости 2-3. Метод параллельных прямых и плоскостей Метод опирается на следующие два утверждения. Расстояние от точки M до плоскости α: равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки P на прямой l, которая проходит через точку M и параллельна плоскости α. В единичном кубе ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 найти расстояние от точки C 1 до плоскости AB 1 C. равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки P на плоскости β, которая проходит через точку M и параллельна плоскости α. 4. Метод объемов Если объем пирамиды ABCM равен V, то расстояние от точки M до плоскости, содержащей треугольник ABC, вычисляют по формуле 14 В общем случае рассматривают равенство объемов одной фигуры, выраженных двумя независимыми способами. При использовании данного метода нет необходимости в проведении перпендикуляра из точки на плоскость и его обоснования. 27

28 Метод объемов 14 Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равно а. Найти расстояние от точки C до плоскости BDC 1. Искомое расстояние равно высоте CQ * (см. рис.), опущенной в пирамиде BCDC 1 из вершины C на основание BDC 1. Объем этой пирамиды равен С другой стороны, так как треугольник BDC 1 равносторонний, то объем пирамиды BCDC 1 равен Приравнивая объемы, находим: * Нет необходимости доказывать, что точка Q лежит на RC 1. Достаточно сказать, что CQ высота пирамиды BCDC 1. 28

29 Расстояние между скрещивающимися прямыми 1. Метод построения общего перпендикуляра. 2. Метод параллельных прямой и плоскости. 3. Метод параллельных плоскостей. 4. Метод ортогонального проектирования. 29

30 Задача. В кубе, длина ребра которого равна, найти расстояние между ребром и диагональю не пересекающей его грани. 5. Метод, основанный на применении формулы объема тетраэдра, в котором известны длины двух скрещивающихся ребер, угол и расстояние между ними. Прокофьев А.А., Бардушкин В.В. О различных подходах к вычислению расстояния между скрещивающимися прямыми. // «Математика в школе», М.: «Школьная пресса», С

31 Расстояние между скрещивающимися прямыми 14 Основанием прямой треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые CA 1 и AB 1 перпендикулярны. а) Докажите, что AA 1 = AC. б) Найдите расстояние между прямыми CA 1 и AB 1, если BC = 8 и AC = 7. ЕГЭ 2017 а) Теорема о трех перпендикулярах + признак квадрата 31

32 О неверных доказательствах ( действия экспертов) 32

33 Построения сечений, достаточность обоснования и строгость оценивания экспертами Метод следов Метод следов + использование свойств параллельных плоскостей Прокофьев А.А., Бардушкин В.В. О различных подходах к вычислению площадей сечений. // «Математика в школе», М.: «Школьная пресса», С. 7-15, С

34 Построение прямой пересечения плоскостей 14 Метод следов + теорема о трех перпендикулярах 34

35 Построение прямой пересечения плоскостей 14 Свойство параллельных плоскостей + Построение линейного угла двугранного угла 35

36 Пример задания 14 и его решение 14 ЕГЭ

37 14 Решение задания 14 ЕГЭ

38 Решение задания б Построение сечения в этой задаче не является необходимым элементом решение задачи. 38

39 14 Решение задания 14 ЕГЭ

40 Решение задания

41 14 Процент решаемости 2,87% ЕГЭ 2016 Выносной чертеж Проблема пункта а). Плохое владение теорией (признаки перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о трех перпендикулярах и т. д.). 41

42 14 ЕГЭ 2016 (досрочный) 42

43 14 ЕГЭ 2016 (досрочный) Пункт а) можно решить с использованием координатного методам. Многие участники экзамена считали, что квадрат MNKL сечение! 43

44 Применение теоремы о площади ортогональной проекции Бардушкин В.В., Белов А.И., Ланцева И.А., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П. Применение теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника при решении стереометрических задач // «Математика для школьников», М.: «Школьная пресса», 2010, 3, С , 4, С

45 Координатный метод (применимость и как реагировать эксперту) 45

46 Координатный метод (применимость и как реагировать эксперту) Бардушкин В.В., Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения задач по теме «Двугранный угол. Угол между плоскостями». // «Математика для школьников», М.: «Школьная пресса», С

47 О применении формул аналитической геометрии 47

48 Векторный и координатный методы (отличие) В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти угол между плоскостями AB 1 C и BC 1 D. Векторный метод. Координатный метод. 48

49 О введении системы координат в пространстве 49

50 Координатный метод (решение задания 14 из демонстрационного варианта) Бардушкин В.В., Прокофьев А.А. Обобщающее повторение темы «Решение заданий C2 координатно-векторным способом». // «Математика в школе», М.: «Школьная пресса», 2012, 10, С

51 Решение задания 14 из демонстрационного варианта Ответ отличается от ответа, приведенного в критериях. Там ответ дан через арксинус. Задача эксперта убедиться в совпадении ответов. Бардушкин В.В., Прокофьев А.А. Обобщающее повторение темы «Решение заданий C2 координатно-векторным способом». // «Математика в школе», М.: «Школьная пресса», 2013, 1, С

52 14 Цилиндр В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения. а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой. б) Найдите объём пирамиды CABNM. 6 Тренировочная работа

53 14 Цилиндр Квадрат ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности. а) Докажите, что плоскость квадрата наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60 о. б) Найдите длину той части отрезка BD, которая находится внутри цилиндра, если образующая цилиндра равна 6. Тренировочная работа

54 14 Конус ЕГЭ 2014 Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса треугольник с углом 120 при вершине M. Образующая конуса равна 2 3. Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих. а) Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный. б) Найдите площадь сечения. Тренировочная работа

55 14 Шар Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 6. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 4. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α. Сечение шара плоскостью круг. Рассмотрим сечение, проходящее через общий центр шаров и центры кругов. Пусть: FD радиус круга, полученного в сечении меньшего шара плоскостью α, тогда S α = π FD 2 площадь сечения меньшего шара плоскостью α; AB радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью β, тогда S β = π AB 2 площадь сечения большего шара плоскостью β; CF радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью α. Параллельные прямые AB и CF перпендикулярны прямой AF. Из прямоугольных треугольников OCF и ODF получаем β A B OF 2 = OC 2 CF 2 =OD 2 FD 2, откуда СF 2 = OC 2 OD 2 + FD 2 =OB 2 OA 2 + FD 2 = AB 2 FD 2. Площадь сечения большего шара плоскостью α равна: S = π CF 2 = π AB 2 + π FD 2 = 10. α O F ЕГЭ 2013 D C 55