Объем пирамиды Теорема. Теорема. : Доказательство.

1 Объем пирамиды Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой. Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н.э. В «Началах» Евклида доказывается, что в равновеликих пирамидах площади оснований обратно пропорциональны соответствующим высотам. Первое непосредственное вычисление объема пирамиды, дошедшее до нас, встречается у Герона Александрийского. Интересно отметить, что в древних документах встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, но нет правил вычисления объема полной В «Московском папирусе» имеется задача, озаглавленная «Действия с усеченной пирамидой», в которой излагается верное вычисление объема одной усеченной В вавилонских клинописных табличках также не встречается вычисление объема пирамиды, но зато в них есть много примеров вычисления объема усеченной Теорема. Две треугольные пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы. Теорема. Объем треугольной пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту:, где S площадь основания, H высота Доказательство. Пусть SABC треугольная пирамида с вершиной S и основанием ABC. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой. Эта призма составлена из трех пирамид: данной пирамиды SABC и еще двух треугольных пирамид SCC B и SCBB. У второй и третьей пирамид равные основания треугольники CC B и B BC и общая высота, проведенная из вершины S. Поэтому у них равные объемы. У первой и третьей пирамид тоже равные основания треугольники SAB и BB S и совпадающие высоты, проведенные из вершины C. Поэтому у них тоже равные объемы.

2 Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем. Так как сумма объемов равна объему призмы, то объемы пирамид равны. Теорема доказана. Теорема. Объем n-угольной пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту:. Доказательство. Есть произвольная пирамида. Разобьем ее основание на треугольники. Пирамиды, у которых основаниями являются эти треугольники, а вершинами вершина данной пирамиды, составляют данную пирамиду. Объем данной пирамиды равен сумме объемов составляющих ее пирамид. Так как все они имеют ту же высоту H, что и данная пирамида, то объем ее равен: V= 3 S H+S H+ +S n H = 3 (S +S + +S n )Н= 3 Sосн H. Теорема доказана. Пример. Вычислите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота 3 см, а сторона основания равна 4 см. Дано: АВ=4 см; SO=3 см Объем пирамиды, где S площадь основания, H высота S осн =АВ =6 см. V= =6 см 3. Ответ: 6 см 3

3 Пример. Высота правильной треугольной пирамиды равна 3 3 см. Вычислить объем пирамиды, если длина стороны ее основания равна см. Дано: АВ= см; SO=3 см Объем пирамиды, где S площадь основания, H высота S осн =АС 3 /4= 3 см. Отсюда V=3 см 3. Ответ: 3 см 3 Пример 3. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, если сторона ее основания равна см, а высота пирамиды 3 см. Дано: а=4 см; Н=3 см Объем пирамиды, где S площадь основания, H высота S осн =6а 3 /4=6 3 см. Отсюда V= см 3. Ответ: см 3

4 Пример 4. Длина диагонали основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а высота пирамиды 3 см. Вычислите объем Дано: АС=4 см; SO=3 см Объем пирамиды, где S площадь основания, H высота S осн =АВ. АВ=АС/ Отсюда S осн =6 см, V=6 см 3. =4 см (свойство диагонали квадрата). Ответ: 6 см 3 Задание. Найдите объем пирамиды, если ) площадь основания пирамиды равна 4 см, а высота пирамиды 6 см. ) в основании пирамиды лежит квадрат со стороной см, а ее высота равна 3 см. 3) в основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами см и 3 см, если высота пирамиды 4 см. 4) высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, а сторона основания см. 5) высота правильной треугольной пирамиды равна стороне основании и равна ,5 6) ее высота равна см, а в основании лежит правильный треугольник со стороной 3 см. 7) основанием треугольной пирамиды служит прямоугольный треугольник с гипотенузой длиной 8 см и острым углом 45 О и высота пирамиды равна 3 см. 6

5 Пример 5. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 8 см 3. Вычислите высоту пирамиды, если площадь ее основания равна 9 см. Дано: V=8 см 3 ; S осн =9 см Найти: SO Объем пирамиды, где S площадь основания, H высота Отсюда H=3V/S осн =6 см. Ответ: 6 см Пример 6. Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, если ее объем равен 6 см 3, а высота 3 см. Дано: V=6 см 3 ; SO=3 см Найти: AB Объем пирамиды, где S площадь основания, H высота S осн =АВ. V= 3 АВ SO. Выразив из формулы АВ, получим АВ= =4 см. Ответ: 4 см Задание. Решите задачу ) Чему равна площадь основания пирамиды, если ее объем 5 см 3, а высота 5 см? ) Чему равна высота пирамиды, если ее объем 6 см 3, а площадь основания 9 см? 3) Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если ее объем равен 6 см 3, а сторона основания 4 см 9 3

6 4) Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 8 см 3. Вычислите площадь ее основания, ели высота пирамиды 6 см. 5) В основании пирамиды лежит квадрат. Объем пирамиды равен см 3, ее высота 4 см. Чему равна сторона основания пирамиды? 6) Объем правильной шестиугольной пирамиды равен см 3. Найдите сторону основания пирамиды, если ее высота пирамиды 3 см. 7) Основание пирамиды треугольник, длины двух сторон которого равны см и 6 см, а угол между этими сторонами 30 О. Объем пирамиды равен 3 см 3. Найдите высоту 8) Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если ее объем 6 см 3, а длина диагонали основания равна см Пример 7. Основание пирамиды - квадрат со стороной 3 см. Вычислите объем пирамиды, если длина каждого бокового ребра пирамиды равна 5 см. Дано: АВ=3 см; SА=5 см Объем пирамиды, где S площадь основания, H высота S осн =АВ =8 см. Высота SO= SС OС, OC=AC/=AВ /=3 см. Отсюда SO=4 см, V=4 см 3. Ответ: 4 см 3

7 Пример 8. Основание пирамиды треугольник, длины двух сторон которого равны см и 6 см, а угол между этими сторонами 30. Вычислите объем пирамиды, если ее высота равна 3 см. Дано: АВ= см; АС=6 см; ВАС=30 О ; SO=3 см Объем пирамиды, где S площадь основания, H высота S осн = АВ АС sin30 =3 см. Отсюда V=3 см 3. Ответ: 3 см 3 Пример 9. Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, если длина стороны ее основания равна 3 см, а длина бокового ребра - 4 см. Дано: АВ= см; SС=4 см Объем пирамиды, где S площадь основания, H высота S осн =АВ 3/4=3 3 см. Высота пирамиды OS= SB OB, где ОВ радиус описанной окружности. ОВ=АВ 3 /3= см. Отсюда OS= 3 см, V=6 см 3. Ответ: 6 см 3 Задание 3. Найдите объем пирамиды, если ) основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с меньшим катетом см и острым углом 30 О и высота пирамиды равна гипотенузе основания. 3

8 ) все ребра правильной четырехугольной пирамиды имеют длину см. 3) основание пирамиды равнобедренный треугольник, длина основания которого равна 6 см, высота 9 см, а длина каждого бокового ребра равна 3 см. 4) диагональ квадрата, лежащего в основании правильной четырехугольной пирамиды, и боковое ребро имеют длину ,75 Пример 0. В пирамиде боковые ребра взаимно перпендикулярны и равны 6 см, 8 см и 0 см. Вычислите объем Дано: SC=6 см; SB=8 см; SA=0 см Объем пирамиды, где S площадь основания, H высота Если допустить, что треугольник ABS является основанием пирамиды, то его высота SC. Следовательно, S осн =AS SB/=4 см, V=80 см 3. Задание 4. Решите задачу Ответ: 80 см 3 ) В треугольной пирамиде SABC ребро SC перпендикулярно ребрам SA и SB. Чему равен объем пирамиды, если SA=6 см, SB=8 см, SC=6 см и АВ=0 см? ) В треугольной пирамиде SABC ребра SA, SB и SC взаимно перпендикулярны. Чему равен объем пирамиды, если площади граней SAB, SAC и SBC равны 8 см, 4 см и 9 см? 48 8

9 Пример. В тетраэдре ребра равны 6 см. Через середину ребра проведена перпендикулярная ему плоскость. Найдите объем пирамиды, вершина которой совпадает с вершиной тетраэдра, а основанием является полученное сечение. Дано: АВ=6 см p(p Объем пирамиды. Площадь основания находится по формуле Герона S осн = AC)(p AO)(p OC). Поскольку треугольники SAB и SCB равносторонние, а OC SB, AO SB, то AO=OC. По теореме Пифагора OC= СВ OВ, OB=SB/=3 см. ОС=3 6 см. Высота пирамиды SO=SB/. Отсюда V=36 см 3. Ответ: 36 см 3 Пример. Вычислите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, если ее объем равен 4 см 3, а длина стороны основания равна 3 см. Дано: V=4 см 3 ; AD=3 см Найти: S сеч Площадь сечения S сеч = АС OS. АС=AD =6 см. OS - высота OS=3V/S осн =3V/AD =4 см. Отсюда S сеч = см. Ответ: см

10 Задание 5. Решите задачу ) Вычислите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, если ее объем равен 4 см 3, а длина стороны основания равна 3 см. ) В тетраэдре ребра равны 6 см. Через середину ребра проведена перпендикулярная ему плоскость. Найдите объем пирамиды, вершина которой совпадает с вершиной тетраэдра, а основанием является полученное сечение. 3) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол 45 О, а площадь диагонального сечения равна 36. 4) Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна 6 см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды и параллельной плоскости боковой грани. 5) Основанием пирамиды OABCD является параллелограмм ABCD. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через прямую АВ и среднюю линию грани OCD? :3 Пример 3. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с углом 5. Все боковые ребра составляют с плоскостью основания угол 30. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 4 см. Дано: АВ=4 см; SСO=30 О ; АВС=5 О Объем пирамиды. Площадь основания S осн = АВ ВСsin5. BC=ABcos5 =SOctg30 cos5. Отсюда S осн =SO sin 5 ctg 30, V=8 см 3. Ответ: 8 см 3

11 Пример 4. Основание пирамиды - прямоугольник. Одно боковое ребро пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а прилегающие к нему образуют с основанием углы 30 и 60. Вычислите объем пирамиды, если ее высота равна 3 см. Дано: SAB=30 O ; SCB=60 O ; SB=3 см Объем пирамиды, где S площадь основания, H высота S осн =АВ ВС. АВ=SBtg30 = 3 см, BC=SBtg60 =3 3 см. Отсюда V=9 см 3. Ответ: 9 см 3 Пример 5. Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, а ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60. Вычислите объем Дано: АВ= см; SСO=60 О Объем пирамиды. S осн =АВ =4 см. Высота OS=OCtg60. OC=AC/=AB Следовательно, OS= см, V=48 см 3. /= 3 см. Ответ: 48 см 3

12 Пример 6. Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна 8 см. Вычислите объем пирамиды, если боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30. Дано: SC=8 см; SCO=30 O Объем пирамиды, где S площадь основания, H высота S осн =АВ. Высота OS=SCsin30 =4 см. ОС=SCcos30 =4 3 см. AC=OC=8 3 см. AB=AC/ =4 6 см. Отсюда S осн =96 см, V=384 см 3. Ответ: 384 см 3 Задание 6. Найдите объем пирамиды ) у которой боковое ребро наклонено под углом 30 и удалено от середины противолежащей стороны основания на расстояние 3 см. ) Основанием четырехугольной пирамиды является прямоугольник с диагональю длиной 3 см и углом 60 о между диагоналями. Каждое из боковых ребер образует с плоскостью основания угол 45 о. Найти объем 3) Основание пирамиды - прямоугольный треугольник. Боковые ребра пирамиды равны. Боковые грани, проходящие через катеты, составляют с плоскостью основания углы 30 о и 60 о. Найти объем пирамиды, если ее высота равна 3 см. 4) Основанием пирамиды служит треугольник с длинами сторон см, см и см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60 о. Найти объем 5) Боковое ребро правильной треугольной пирамиды имеет длину 4 см и составляет с плоскостью основания угол 60 о. Найти объем 6) Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см. Вычислите объем пирамиды, если угол между апофемами смежных боковых граней равен

13 7) Основанием пирамиды служит ромб со стороной равной 3 см, и углом 30. Боковые грани, проходящие через стороны острого угла ромба, перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к нему под углом 60. Найдите объем 8) Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с гипотенузой и острым углом 30 О. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45 О. Найдите объем 4,5 Пример 7. Основанием пирамиды служит ромб со стороной 3 см и острым углом 60. Найдите объем пирамиды, если ее двугранные углы при ребрах основания равны 45. Дано: АD= см; BAD=60 O ; SKO=45 O Объем пирамиды, где S площадь основания, H высота S осн =AD sin60 =6 3 см. Высота OS=AD/= 3 см (прямоугольный треугольник с углом 45 ). Отсюда V=6 см 3. Задание 7. Решите задачу Ответ: 6 см 3 ) Основанием пирамиды является ромб со стороной 6 см. каждый из двугранных углов при основании равен 45 О. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна,5 см. ) Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если длина стороны ее основания равна, а двугранный угол при основании равен 60 О. 9,5 3) Длина стороны основания правильной треугольной пирамиды равна 6, двугранный угол при основании равен 45 О. Найдите объем 9

14 4) Основанием пирамиды DABC является треугольник, в котором АВ=0 см, АС=9 см, ВС= см. Грани DAB и DAC перпендикулярны к плоскости основания, а грань DBC составляет с ней угол в 60 О. Найдите объем Пример 8. Вычислите объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна 6 см, а радиус окружности, вписанной в основание, равен см. Дано: SO=6 см; r= см Объем пирамиды. S осн =АВ. АВ=r, где r радиус вписанной окружности. Следовательно, АВ=4 см, S осн =6 см, V=3 см 3. Ответ: 3 см 3 Пример 9. Основание четырехугольной пирамиды - прямоугольник. Объем пирамиды равен 9 см 3, а угол между диагоналями основания Вычислите радиус окружности, описанной около основания, если боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 45. Дано: V=9 см 3 ; BOA=30 O ; SCO=45 O Найти: OC Радиус описанной окружности равен OC (половине AC). Поскольку все ребра наклонены к плоскости основания под углом 45, то высота SO=ОС. Площадь основания S осн =ОС (sin30 +sin(80-30 ))=OC. Объем пирамиды V= 3 Sосн SO= 3 ОС 3. Отсюда OC=3 см. Ответ: 3 см

15 Пример 0. Угол между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен 60. Радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен 4 см. Вычислите объем Дано: OB=4 см; SBO=60 O Объем пирамиды. Высота пирамиды SO=OBtg60 =4 3 см, где ОВ радиус описанной окружности. ОВ=АС 3/3. Отсюда АС=4 3 см. S осн =АС 3 /4= 3 см, V=48 см 3. Ответ: 48 см 3 Пример. В правильной четырехугольной пирамиде радиус описанной около основания окружности равен 3 см. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45. Найдите объем Дано: AO=3 см; SAO=45 O Объем пирамиды. S осн =AD. AD=AC/, AC=AO, где АО радиус описанной окружности. Следовательно, AC=6 см, S осн =8 см. Высота SO=АО=АС/=3 см. Отсюда V=8 см 3. Ответ: 8 см 3

16 Пример. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 9 см. Вычислите объем пирамиды, если радиус окружности, описанной около основания, равен см. Дано: SO=9 см; AO= см Объем пирамиды. S осн =АВ. АВ=АС/. АС=AO. Отсюда АС= см, АВ= см, S осн =4 см, V= см 3. Ответ: см 3 Задание 8. Решите задачу ) Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 3 см, а диаметр круга, вписанного в основание, равен 6 см. ) Основанием пирамиды служит ромб с острым углом 60 о. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 о. Найти объем пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен см. 3) Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 3 см 3, высота пирамиды равна 6 см. Найдите радиус окружности, вписанной в основание. 8 Задание 9. Решите задачу ) Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит прямоугольник ABCD. Точка F лежит на ребре SC, причем SF:SC=:3 Чему равно значение 9V/V, если V объем пирамиды, а V объем верхней части пирамиды, отсеченной плоскостью, проходящей через точки A, D и F? ) Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит прямоугольник ABCD. Точка F лежит на ребре SiC, причем SF:SC=:6. Чему равно значение 7V/V, если V объем пирамиды, а V объем нижней части пирамиды, отсеченной плоскостью, проходящей через точки A, D и F? 5 65

17 3) Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит прямоугольник ABCD. Точка F лежит на ребре SВ, причем FВ:SВ=:5. Чему равно значение 5V/V, если V объем пирамиды, а V объем верхней части пирамиды, отсеченной плоскостью, проходящей через точки A, D и F? 4) Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит прямоугольник ABCD. Точка F лежит на ребре SС, причем СF:SС=5:7. Чему равно значение, если V 0 объем пирамиды, а V объем верхней части пирамиды, отсеченной плоскостью, проходящей через точки A, D и F? 5) Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит прямоугольник ABCD. Точка F лежит на ребре SB, причем SF:SB=:4. Чему равно значение, если V 0 объем пирамиды, а V объем нижней части пирамиды, отсеченной плоскостью, проходящей через точки A, D и F? 3 7 Пример 3. Основание пирамиды треугольник, длины сторон которого равны 0 см, 0 см, см, а высоты боковых граней равны между собой. Вычислите объем пирамиды, если длина высоты боковой грани равна 5 см. Дано: АВ=0 см, ВС=0 см, АС= см, SL=5 см p(p Объем пирамиды V= 3 Sосн Н. Решение: Площадь основания находится по формуле Герона. S осн = AB)(p AC)(p BC), где р=(ав+вс+ас)/=6 см, S осн =48 см. Высота SO попадает в центр вписанной окружности. OL=S осн /p=3 см. SO= SL OL = 4 см. Отсюда V=64 см. Ответ: 64 см

18 Пример 4. Расстояние от середины высоты правильной четырехугольной пирамиды, у которой все ребра равны, до бокового ребра равно 3 см. Найдите объем Дано: MN=3 Решение: Объем пирамиды V= 3 Sосн Н. S осн =AD. Из треугольника SOC: MN:OC=SM:SC. SM=SO/, OC=AC/=AD /. Поскольку SC=AD, получаем MN :АD=OS:AD. Отсюда OS= MN= см, AD= см, V=5 см 3. Ответ: 5 см 3 Пример 5. Основанием пирамиды служит ромб со стороной равной 3 см, и углом 30. Боковые грани, проходящие через стороны острого угла ромба, перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к нему под углом 60. Найдите объем Дано: АВ=, А=30 О, SDC=60 О Решение: Объем пирамиды V= 3 Sосн Н. S осн =AD sin30 =6 см. Высота пирамиды SC=ВСtg60 = см. Отсюда V=4 см 3. Ответ: 4 см 3

19 Пример 6. Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см. Вычислите объем пирамиды, если угол между апофемами смежных боковых граней равен 60. Дано: АВ=6 см, KSM=60 О Решение: Объем пирамиды V= 3 Sосн Н. S осн =AD =36 см. Высота SO= SM OM, OM=AD/= 3 см. Треугольник KMS равносторонний. КМ=АС/=3 треугольника ACD). Отсюда SO= 3 см, V=08 см 3. см (средняя линия Ответ: 08 см 3 Пример 7. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, у которой боковое ребро наклонено под углом 30 и удалено от середины противолежащей стороны основания на расстояние 3 см. Дано: SBD=30 O, DE=3 см Решение: Объем пирамиды V= 3 Sосн Н. Высота SO=OBtg30. OB=/3BD. BD=DE/sin30 =6 см. Отсюда ОВ=4 см, SO=4/ 3 см. Площадь основания S осн =АС 3 /4. АС=BD/sin60 =4 3 см. Следовательно S осн = 3 см, V=6 см 3. Ответ: 6 см 3

20 Пример 8. Точка О центр грани A B C D куба ABCDA B C D. Вычислите объем пирамиды OABCD, если площадь грани куба равна 9 см. Дано: S гр =9 см пир Решение: Пирамида OABCD правильная, в основании которой квадрат. Объем пирамиды V= 3 Sосн Н. S осн =S гр =9 см. Высота пирамиды равна стороне куба H=3 см. Отсюда V=9 см 3. Задание 0. Решите задачу ) Точки Е и F середины ребер DC и ВВ куба ABCDA B C D с ребром см. Найдите объем тетраэдра AD EF. Ответ: 9 см 3