ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ГРУППЫ, НАСЫЩЕННЫЕ ПРЯМЫМИ ПРОИЗВЕДЕНИЯМИ КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ ГРУПП. II Д. В. Лыткина

1 Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, Том 52, 5 УДК ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ГРУППЫ, НАСЫЩЕННЫЕ ПРЯМЫМИ ПРОИЗВЕДЕНИЯМИ КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ ГРУПП. II Д. В. Лыткина Аннотация. Продолжено изучение периодических групп, насыщенных прямыми произведениями элементарных абелевых 2-групп и простых линейных групп размерности 2, начатое в [1]. Ключевые слова: периодическая группа; группа, насыщенная множеством групп; локальная конечность. В работе продолжается изучение периодических групп, насыщенных прямыми произведениями элементарных абелевых 2-групп и простых групп L 2 (q), начатое в [1]. Теорема 1. Пусть m натуральное число, G периодическая группа, каждая конечная подгруппа четного порядка которой содержится в подгруппе, изоморфной прямому произведению элементарной абелевой 2-группы порядка, не превосходящего 2 m, и группы L 2 (q) для некоторого q 4. Если выполнено одно из следующих условий: (a) G содержит элемент порядка 4; (b) G содержит подгруппу, изоморфную знакопеременной группе A 4 степени 4, то G = E L 2 (Q), где E элементарная абелева 2-группа, E 2 m и Q локально конечное поле. В частности, G локально конечная счетная группа. Попытки отказаться от дополнительных условий (a), (b) в теореме 1 наталкиваются на трудности, связанные с нерешенным вопросом о существовании простых не локально конечных групп определенного вида. Пусть P локально конечное поле. Группой типа (P ) назовем содержащую инволюцию простую периодическую группу, в которой все инволюции сопряжены и централизатор каждой из них изоморфен прямому произведению группы порядка 2 на группу, изоморфную L 2 (P ). Известными автору примерами групп типа (P ) являются конечная спорадическая группа Янко J 1, для которой P поле порядка 4, и локально конечные простые группы лиева типа 2 G 2 (P ), где P поле характеристики 3, не содержащее подполей порядка 9. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта ), Совета по грантам президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ ), а также программы Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы» (код проекта ). c 2011 Лыткина Д. В.

2 Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями 1097 Теорема 2. Пусть G периодическая группа, содержащая инволюцию. Если в G любая конечная подгруппа четного порядка содержится в подгруппе вида E R, где E 2, а R L 2 (q) для некоторого q 5, то либо G = Z L, где Z 2, а L L 2 (Q) для некоторого локально конечного поля Q, либо Z = 2 и G не локально конечная группа типа (P ) для бесконечного локально конечного поля характеристики 2, не содержащего подполей порядка 4. Предварительные результаты Лемма 1. Пусть L L 2 (q), где q нечетно, V нециклическая подгруппа порядка 4 группы L и B подгруппа L, содержащая V и изоморфная A 4. (a) Если q 11, то L = B, C L (u) для произвольной инволюции u L. (b) Если q = 7 или 9, то L = N L (V ), C L (u) для любой инволюции u N L (V ) \ B. (c) Для любой инволюции u L C L (u) группа диэдра, содержащая силовскую 2-подгруппу группы L. (d) Если A максимальная элементарная абелева 2-подгруппа группы L, то A = 4 и либо A силовская 2-подгруппа группы L и N L (A) A 4, либо N L (A) S 4. (e) Централизатор в L любого нетривиального элемента нечетного порядка абелев. (f) Если S подгруппа из L, изоморфная S 3, то C L (S) 2. Доказательство следует из классификации подгрупп группы L 2 (q) (см. [2, II.8.27]). Лемма 2. Пусть каждая конечная подгруппа 2-группы T изоморфна подгруппе прямого произведения группы диэдра и элементарной абелевой группы. Тогда T изоморфна одной из следующих групп: (a) элементарной абелевой 2-группе; (b) прямому произведению элементарной абелевой 2-группы и циклической 2-группы; (c) прямому произведению элементарной абелевой 2-группы и группы C = ci, i = 1, 2. c 2 1 = 1, c2 i+1 = c i, i = 1, 2. ; (d) прямому произведению элементарной абелевой 2-группы и диэдральной 2-группы; (e) прямому произведению элементарной абелевой 2-группы и группы D = C, d d 2 = 1, c d i = c 1 i. В частности, T локально конечна, и любая циклическая подгруппа порядка 4 из T нормальна в T. Доказательство см. в [1, теорема 3]. Лемма 3. Пусть группа G совпадает с объединением возрастающей цепочки L 1 < L 2 <. групп, каждая из которых изоморфна L 2 (q) для некоторого нечетного q. Тогда G L 2 (Q), где Q локально конечное поле нечетной характеристики. Доказательство. Это частный случай результата А. В. Боровика [3] (доказан без использования классификации конечных простых групп). Лемма 4. Если G периодическая группа, содержащая инволюцию, централизатор которой в G конечен, то G локально конечна. Доказательство см. в [4].

3 1098 Д. В. Лыткина Cледующий результат легко выводится из леммы 4 и хорошо известен. Мы приводим доказательство, поскольку затрудняемся указать точную ссылку. Лемма 5. В бесконечной 2-группе любая конечная подгруппа отлична от своего нормализатора. Доказательство. Пусть K конечная подгруппа бесконечной 2-группы G. Индукцией по K покажем, что N G (K) K. Это очевидно, если K = 1. Пусть K > 1 и t инволюция из центра K. Если C G (t) конечная подгруппа, то по лемме 4 G локально конечна и утверждение вытекает из справедливости нормализаторного условия в конечных нильпотентных группах. Если же C G (t) бесконечная группа, то, не нарушая общности, можно считать, что C G (t) = G, т. е. t G. По предположению индукции N G (K) K, где G = G/ t, K = K/ t, поэтому N G (K) K. Лемма доказана. Следующая лемма обобщает известный результат В. П. Шункова о сопряженности силовских 2-подгрупп в периодической группе, обладающей хотя бы одной конечной силовской 2-подгруппой. Лемма 6. Пусть T силовская 2-подгруппа периодической группы G. Если не все силовские 2-подгруппы из G сопряжены с T, то для любого натурального t в G найдется не сопряженная с T силовская 2-подгруппа S, для которой T S > t. Доказательство. Предположим противное. Среди силовских 2-подгрупп из G, не сопряженных с T, выберем S так, чтобы порядок d подгруппы D = T S был наибольшим. Очевидно, T D S. Так как D конечная группа, по лемме 5 N T (D) D N S (D). Пусть ad и bd инволюции в N T (D)/D и N S (D)/D соответственно. Тогда K = a, b, D конечная группа. Пусть a, D содержится в силовской 2-подгруппе U группы K, b, D в силовской 2-подгруппе V группы K. Далее, пусть U содержится в силовской 2-подгруппе T 1 группы G, V в силовской 2-подгруппе S 1 группы G. Так как a, D > d и a, D T U T T 1, существует g G, для которого T g 1 = T. Поскольку K конечна, существует h K такой, что V h = U и поэтому S h 1 T 1 U, S hg 1 T g 1 = Shg 1 T U g. Так как U a, D > d, то S hgx 1 = T для некоторого x G. Поскольку S 1 S b, D > d, то T S hgx = S hgx 1 S hgx = (S 1 S) hgx > d, поэтому T и S hgx сопряжены, т. е. S сопряжена с T ; противоречие. Лемма доказана. Лемма 7. Пусть G периодическая группа с абелевой силовской 2-подгруппой A, и пусть порядки пересечений A с отличными от нее силовскими подгруппами ограничены в совокупности. (a) Если V A, то N G (V ) = C G (V )(N G (A) N G (V )). (б) Если X A, g G и X g A, то g C G (X)N G (A). Доказательство. (а) Очевидно, правая часть доказываемого равенства содержится в левой. Докажем противоположное включение. Положим K = A n n N G (V ). Тогда A K C G (V ) N G (V ) и по лемме 6 N G (V ) = K(N G (A) N G (V )) C G (V )(N G (A) N G (V )). Пусть выполнены условия п. (б). Тогда X A g 1 и A, A g 1 C G (X). По лемме 6 A = A g 1c для некоторого c C G (X) и, таким образом, g = cn 1 C G (X)N G (A). Лемма доказана. Пусть m целое неотрицательное число. Для произвольной группы G определим N = N(G) как множество всех F G вида F = E R, где E

4 Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями 1099 элементарная абелева группа порядка, не превосходящего 2 m, и R L 2 (q) для некоторого q. Ясно, что E совпадает с центром F, а R с коммутантом F, поэтому для F N определены однозначно подгруппы E(F ) = E и R(F ) = R. Для конечной подгруппы K группы G определим N(K) как множество всех элементов множества N, содержащих K. Всюду далее G будет означать содержащую инволюцию периодическую группу, любая конечная подгруппа четного порядка которой содержится в N. Будем считать, что 2 m совпадает с максимумом порядков E(F ) для F N. Пусть X множество всех элементов порядка 4 из G. Сопряженность силовских 2-подгрупп Лемма 8. Если E элементарная абелева подгруппа из G и N G (E) содержит некоторый x X, то E конечна и E 2 m+2. Доказательство. Предположим противное. Пусть E 0 подгруппа группы E порядка 2 m+3. Очевидно, E 1 = E 0, x конечна. Выберем F N(E 1 ). Тогда R(F ) L 2 (q), где q нечетно, и, следовательно, любая элементарная абелева подгруппа группы F имеет порядок не больше 2 m+2. Это противоречит выбору E 0. Лемма доказана. Лемма 9. Пусть x X и C = C G (x). Тогда C абелева группа, изоморфная прямому произведению элементарной абелевой группы порядка 2 m и (локально) циклической группы, N G ( x ) = C t, где t инволюция, инвертирующая каждый элемент из C при сопряжении, N G ( x ) содержит силовскую 2-подгруппу группы G и все силовские 2-подгруппы в N G ( x ) сопряжены. Доказательство. Выберем две инволюции a, b C. Тогда B = a, b, x конечная группа и B F N(B). Ясно, что x 2 R = R(F ) и R содержит элемент порядка 4. По лемме 1(c) R 0 = C R (x 2 ) диэдральная группа, C F (x 2 ) = E(F ) R 0 и C F (x) = E(F ) U, где U циклическая группа индекса 2 в R 0. В частности, ab = ba. Это означает, что подгруппа H, порожденная всеми инволюциями из C, является элементарной абелевой нормальной подгруппой группы C. Так как x N G (H), подгруппа H конечна по лемме 8. По лемме 2 силовская 2-подгруппа S группы C совпадает с H 0 Q, где H 0 подгруппа группы H индекса 2, Q содержит единственную инволюцию и каждая собственная подгруппа группы Q конечна. В частности, Q локально циклическая. Докажем, что S = O 2 (C). Действительно, в противном случае O 2 (C) конечна и существует n 2 такой, что C \ O 2 (C) содержит элемент y порядка 2 n+1, где y 2 O 2 (C). Для любого c C элементы y и y c являются инволюциями по модулю O 2 (C) и, значит, K = x, y, y c, O 2 (C) конечная подгруппа. Если F N(K), то K содержится в группе C F (x), которая коммутативна. Следовательно, y c c C абелева 2-группа и y O 2 (C); противоречие. Таким образом, S C и C/S не содержит инволюций. Поскольку x F N(K), существует инволюция t, для которой x t = x 1 и, стало быть, N G ( x ) = C t. Предположим, что для c C подгруппа S c t-инвариантна. Поскольку S локально конечна, K = c, c t, x, t конечна. Если F N(K), то c, c t C F (x) и из строения F следует, что c t = c 1. В частности, t действует без неподвижных точек на C/S сопряжением в G. Хорошо известно, что в этом случае C/S коммутативна, S c является t-инвариантной для любого c C (см., например,

5 1100 Д. В. Лыткина лемму 2 в [5]) и, значит, c t = c 1. Отсюда следует, что C абелева, в частности, локально конечна. Пусть P подгруппа, состоящая из всех элементов нечетного порядка из C. Для доказательства леммы достаточно показать, что P локально циклическая. Пусть K конечное множество элементов из P. Тогда M = K конечная подгруппа нечетного порядка, а M подгруппа централизатора C N (x), где N N( x, K ). В силу леммы 1(c) K циклическая. Остальные утверждения леммы очевидны. Лемма 10. Пусть x X и z = x 2. Тогда C G (z) = N G ( x ). Доказательство. Очевидно, N G ( x ) C G (z). Предположим, что c C G (z)\n G ( x ). Тогда x c x. Поскольку x c и x инволюции по модулю z, подгруппа x c, x конечна и, следовательно, содержится в элементе множества N. По лемме 1(c) x c и x перестановочны. Это означает, что K = x r r c абелева c-инвариантная подгруппа и, значит, M = K, c = x, c конечная подгруппа в C G (z). Как и выше, по лемме 1(c) x M, стало быть, x c = x. Лемма доказана. Лемма 11. Если E элементарная абелева 2-подгруппа из G порядка 2 m+2, то C G (E) элементарная абелева. Доказательство. Пусть a C G (E) и F N( a, E ). Тогда EE(F )/E(F ) изоморфна элементарной 2-подгруппе из R(F ) порядка, не меньшего 4. Если R(F ) L 2 (q), где q нечетно, то a, E /E(F ) элементарная абелева подгруппа по лемме 1(d), а если q четно, то a, E элементарная 2-группа. В любом случае a 2 E(F ), откуда a = 1. Лемма доказана. Лемма 12. Силовские 2-подгруппы в G сопряжены. Доказательство. Предположим противное. Пусть S силовская 2-подгруппа в G. По лемме 6 существует не сопряженная с S силовская 2-подгруппа S 1 такая, что S S 1 > 2 m+2. Если S S 1 элементарная абелева, то S и S 1 элементарные абелевы группы и по лемме 11 S, S 1 элементарная абелева 2-группа, что невозможно. Поэтому S S 1 содержит элемент x порядка 4. По лемме 2 S и S 1 силовские 2-подгруппы в N G ( x ). По лемме 9 S и S 1 сопряжены. Это противоречие доказывает лемму. Коммутативность силовских 2-подгрупп До конца раздела будем предполагать, что множество X элементов порядка 4 из G непусто. Цель раздела доказать для этого случая справедливость теоремы 1. Пусть A множество всех максимальных элементарных абелевых 2-подгрупп из G. Лемма 13. Порядок любого элемента V из A равен 2 m+2. Доказательство. Пусть x X и F N( x ). Тогда F содержит неабелеву 2-подгруппу и G обладает неабелевой силовской 2-подгруппой. Пусть T силовская 2-подгруппа из G, содержащая V. По лемме 12 T неабелева. По лемме 2 T = U D, где U элементарна, а D локально конечная группа диэдра. Очевидно, V = U V 0, где V 0 подгруппа порядка 4 из D. Так как N D (V 0 ) содержит элемент из X, то V 2 m+2. С другой стороны, если H G и H L 2 (q) E, где E элементарная абелева подгруппа порядка 2 m,

6 Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями 1101 то в H есть элементарная абелева подгруппа порядка 2 m+2. Так как порядки всех максимальных элементарных абелевых 2-подгрупп из G совпадают, лемма доказана. Лемма 14. Если L подгруппа из G, изоморфная L 2 (2 s ), то s 2. Доказательство. Пусть L L 2 (2 s ), где s 3, U силовская 2-подгруппа из L и N L = N L (U). Тогда U элементарная абелева подгруппа порядка 2 s и N L = UH группа Фробениуса с дополнением H порядка 2 s 1. Заметим вначале, что в C = C G (U) силовские 2-подгруппы сопряжены. Действительно, в противном случае по леммам 13 и 6 в C существуют несопряженные силовские 2-подгруппы S, S 1, пересечение которых содержит элемент x порядка 4, и по леммам 2 и 9 S и S 1, являясь силовскими 2-подгруппами в N C ( x ), сопряжены. По замечанию Фраттини в N G (S), где S одна из силовских 2-подгрупп группы C, есть циклическая подгруппа H 1 нечетного порядка, действующая транзитивно при сопряжении на множестве нетривиальных элементов U. Если S элементарная подгруппа, то по лемме 13 S = 2 m+2, а по лемме 11 C G (S) = S, поэтому N G (S) конечная подгруппа, содержащая H 1 и некоторый элемент порядка 4. По условию N G (S) F E L 2 (q), где E элементарная абелева 2-подгруппа, а q нечетно. Очевидно, UH 1 [F, F ], что невозможно при s 3. Если S содержит элемент x порядка 4, то подгруппа x, U, H 1 конечна и по тем же причинам не может содержаться в F N. Лемма доказана. Лемма 15. Пусть A A. Тогда N G (A) = E S, где E элементарная абелева подгруппа из A порядка 2 m, а S S 4. Доказательство. По лемме 13 A = 2 m+2. По лемме 11 C G (A) элементарная абелева 2-подгруппа и C G (A) = A в силу максимальности A. Таким образом, N G (A) конечная подгруппа. Поскольку все силовские 2-подгруппы группы G сопряжены и N S (A) A для силовской 2-подгруппы S, содержащей A, то N G (A) содержит элемент порядка 4. По условию N G (A) E R, где E элементарная абелева подгруппа, E 2 m и R L 2 (q) для некоторого q. По лемме 14 q нечетно, поэтому E = 2 m. Далее A E и R A = 4. Так как N G (A) содержит элемент порядка 4, то N R (A) S 4. Лемма доказана. По лемме 15 для A A однозначно определены ее подгруппа E(A) = Z(N G (A)) и V (A) = A [N G (A), N G (A)]. Эти обозначения будем использовать до конца работы. Лемма 16. Пусть F N, F = E(F ) R(F ). Если V элементарная подгруппа порядка 4 из R = R(F ), то N G (V ) = E S, где E элементарная абелева 2-подгруппа порядка 2 m, а S S 4. При этом коммутант S содержит V и содержится в R(F ). Доказательство. По лемме 14 R(F ) L 2 (q), где q нечетно, поэтому N R(F ) (V ) изоморфна A 4 или S 4 и в любом случае содержит элемент r порядка 3, действующий на V без неподвижных точек. Пусть C = C G (V ), T силовская 2-подгруппа в C. Покажем, что в C любая силовская 2-подгруппа сопряжена с T. Действительно, в противном случае по лемме 6 в C содержится не сопряженная с T силовская подгруппа S, для которой T S > 2 m+2. По лемме 13 T S содержит элемент x порядка 4. По

7 1102 Д. В. Лыткина лемме 2 T, S N G ( x ) и, очевидно, T и S являются силовскими подгруппами в T, S. По лемме 9 N G ( x ) содержит нормальную абелеву 2-подгруппу, фактор-группа по которой не содержит подгрупп порядка 4, поэтому в T, S силовские 2-подгруппы сопряжены вопреки выбору S. По замечанию Фраттини N G (V ) = C G (V )(N G (T ) N G (V )), в частности, N G (T ) содержит 3-элемент r, нормализующий, но не централизующий V. Покажем, что T элементарная абелева группа. Действительно, в противном случае T содержит элемент x порядка 4 и по лемме 2 инволюция x 2 равна квадрату любого элемента порядка 4 из T. В частности, r централизует x 2. По леммам 9 и 10 V, r является расширением абелевой группы посредством группы порядка 2, что, очевидно, неверно. Таким образом, T максимальная элементарная абелева подгруппа из G. По лемме 15 N G (T ) = E S, где E элементарная абелева подгруппа порядка 2 m, а S S 4. Очевидно, r, V S, в частности, любой нетривиальный элемент из V является квадратом некоторого элемента порядка 4 из S. Покажем, что C = T, т. е. C является 2-группой. Действительно, предположим противное. Пусть c нетривиальный элемент нечетного порядка из C. По условию c, V содержится в подгруппе K = B L, где B элементарная абелева 2-группа, а L L 2 (q) для некоторого q. Поскольку c L и централизатор любой нециклической подгруппы порядка 4 из L является 2-группой, то BV < B V, т. е. B V > 1. Пусть 1 v B V. Тогда L C G (v) и, следовательно, C G (v) неразрешимая группа. С другой стороны, v квадрат некоторого элемента из X, поэтому в силу лемм 9 и 10 C G (v) разрешимая группа. Полученное противоречие показывает, что C = T. Итак, N G (V ) N G (T ) = B S, где B элементарная абелева 2-группа порядка 2 m, а S S 4. При этом U = O 2 (N R (V )) = O 2 (N G (T )) A 4 (здесь O 2 (K) для периодической группы K означает подгруппу, порожденную всеми элементами нечетного порядка из K), а B = C G (U). Лемма доказана. Лемма 17. Пусть x, y X и x 2 y 2 = y 2 x 2. Тогда либо x 2 = y 2, либо x, y S 4 E, где E элементарная абелева группа порядка n 4. Доказательство. Положим K = x 2, y 2 и предположим, что x 2 y 2. По лемме 10 C G (K) N G ( x ) N G ( y ). В частности, y 2 нормализует x, и, следовательно, x нормализует K. Аналогично y нормализует K. Поскольку x и y инволюции по модулю K, то U = x, y конечная разрешимая группа. Пусть F N(U). Тогда F = A R, где A элементарная абелева подгруппа порядка, не превосходящего 2 m, а R L 2 (q), где q нечетно. Ясно, что x 2, y 2 R и K = x 2, y 2 элементарная абелева подгруппа порядка 4 из R. По лемме 16 N G (K) = U S, где U элементарная абелева подгруппа порядка 2 m, а S S 4. Поскольку x, y N G (K), то x = u 1 s 1, y = u 2 s 2, где u 1, u 2 U, s 1, s 2 S и s 1, s 2 = S. Лемма доказана. Лемма 18. Пусть A A, u, v инволюции группы A, u v и существуют элементы x, y X такие, что x 2 = u, y 2 = v. Тогда u, v = V, где V = V (A), C G (V ) = A и N G (V ) = N G (A). Доказательство. По лемме 17 V содержится в R(F ), где F N( x, y ). По лемме 16 N G (V ) = N G (A) и C G (V ) = A. Очевидно, что V = V (A). Лемма доказана.

8 Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями 1103 Лемма 19. Пусть V A A и N G (V ) содержит циклическую подгруппу Y, действующую транзитивно при сопряжении на множестве неединичных элементов V. Если V > 2, то V = V (A). Доказательство. Пусть F N( V, Y ). Тогда V R(F ) L 2 (q), где q нечетно и V = 4. По лемме 16 V удовлетворяет условиям леммы 18. Лемма доказана. Пусть A A и u инволюция из V (A). Определим F = F (A) как множество всех подгрупп F G, удовлетворяющих следующим условиям: F = E L, где E элементарная абелева группа порядка 2 m, L L 2 (q) для некоторого нечетного q 11 F содержит A и элемент порядка 4, квадрат которого равен u. Лемма 20. Если F, F 1 F, то F 1 F тогда и только тогда, когда C F1 (u) делит C F (u). Доказательство. Если F 1 F, то, очевидно, C F1 (u) делит C F (u). Предположим, что C F1 (u) делит C F (u). Из лемм 10 и 9 следует, что C F1 (u) C F (u). По лемме 15 V (A) F 1 F 2. В силу леммы 1(a) F = V (A), C F (u) B(A), C F1 (u) = F 1. Лемма доказана. Лемма 21. F (A) непусто для любого A A. Доказательство. Предположим противное, и пусть u инволюция из V (A). По леммам 10 и 9 C G (u) = AU, где U локально циклическая группа, содержащая элемент порядка 4. Если U порядка 4, то в силу леммы 4 G локально конечна и, более того, конечна, что противоречит предположению теоремы. Пусть U 0 подгруппа группы U такая, что U 0 > 4 и F N(AU 0 ). Тогда u R(F ) и C R (u) содержит подгруппу, изоморфную U 0. Таким образом, R(F ) L 2 (q), где q 11. Отсюда F F (A). Лемма доказана. Лемма 22. Пусть U = F F F (A). Тогда U = Z L, где L L 2 (Q), Q локально конечное поле нечетной характеристики, централизатор каждой инволюции из L содержится в U и C G (L) = Z. Доказательство. В силу лемм 10 и 9 C = C G (u) произведение A и нормальной локально циклической группы, которая является объединением возрастающей цепочки конечных циклических подгрупп. Поскольку C R(F ) (u) > 8 для любого F F (A), существует конечная подгруппа C 0 группы C, содержащая A, такая, что C 0 : A > 4. Пусть C 0 < C 1 <. цепочка подгрупп, объединение которых равно C, и F 0 N(C 0 ). Тогда F F и C F0 (u) C 0. Предположим, что определены F i F такие, что C Fi (u) C i. Пусть F i+1 N( C Fi (u), C i+1 ). Тогда F i+1 F и по лемме 20 F i F i+1. Если R i = [F i, F i ], i = 0, 1. то R 0 R 1. возрастающая цепочка подгрупп, каждая из которых изоморфна L 2 (q) для некоторого нечетного q. По лемме 3 L = i=1 R i i=1 изоморфна L 2 (Q) для некоторого локально конечного поля нечетной характеристики. Очевидно, что U 1 = F i совпадает с Z L. Если теперь F F, то C F (u) делит C Fi (u) для некоторого i = 0, 1. и в силу леммы 20 F F i U 1. Следовательно, U U 1, значит, U = U 1. Поскольку все инволюции из L сопряжены с u в L, то U содержит все централизаторы инволюций из L. Последнее утверждение леммы следует из лемм 18 и 16.

9 1104 Д. В. Лыткина Зафиксируем до конца доказательства некоторую A A. Лемма 23. Если U L g, где g G, содержит инволюцию, то L g = L. Доказательство. Предположим, что v инволюция из U L g. Если v L, то v g 1 L. Так как все инволюции из L сопряжены, существует l L такой, что v g 1l = v и, следовательно, l 1 g C G (v). Таким образом, по лемме 22 l 1 g U N G (L) и g N G (L). Пусть v L. По определению U существует x L g, для которого x 2 = v. Кроме того, существует такой y L, что u = y 2 инволюция и uv = vu. Ясно, что u v. По леммам 18 и 17 u, v = V (A) L, что противоречит выбору v. До конца доказательства сохраним обозначения из леммы 22. Лемма 24. Если F N(A), то F U. Доказательство. Пусть F = E R, где E элементарная абелева 2- группа и R L 2 (q) для некоторого q. По лемме 14 q нечетно и E = Z(N F (A)) Z(N G (A)) = Z U. Из E = Z следует, что E = Z. Если q 5, то в силу леммы 1 R = C R (t) t инволюция из N R (A) L, откуда F U. Итак, q = 5 и N R (A) A 4. Пусть r элемент порядка 3 в N R (A), t инволюция из R такая, что r t = r 1, и s инволюция из N L (A) такая, что r s = r 1. Ясно, что t s, ts C G (r) и ts r. Подгруппа r, t, s, Z конечна, т. е. содержится в подгруппе F 1 = E 1 R 1, где E 1 элементарная абелева группа порядка, не превосходящего 2 m, и R 1 L 2 (q 1 ) для некоторого нечетного q 1. Заметим, что r, t, Z F и r, s L. Пусть A 1 максимальная элементарная абелева 2-подгруппа группы F 1, содержащая Z, s. Так как A 1 C G (s) U, порядок A 1 равен A или A /2. Предположим вначале, что A 1 = A /2. Тогда C G (A 1 ) C G (s) и по леммам 10 и 9 s единственный элемент, являющийся квадратом некоторого элемента из G. В частности, если C G (A 1 ) содержит элемент порядка 4, то его квадрат совпадает с s и N G (A 1 ) централизует s, что невозможно. Поэтому силовская 2-подгруппа A 0 из C G (A 1 ) элементарная абелева. Поскольку все силовские 2-подгруппы в C G (A 1 ) сопряжены, то N G (A 1 ) C G (A 1 )N G (A 0 ), откуда V (A) = O 2 ([N G (A 1 ), N G (A 1 )]) R 1, A F 1 и A 1 = A ; противоречие. Пусть x L и x 2 = s. Тогда A 1, x C G (s), откуда A 1 N G (x), [A 1, x] s A 1 и x N G (A 1 ). По лемме 16 C G (A 1 ) = A 1 и N G (A 1 ) Z 1 B, где Z 1 элементарная абелева 2-группа, B S 4. Очевидно, что s = x 2 [B, B] [F 1, F 1 ] = [R 1, R 1 ] = R 1. Если V 1 = A 1 R 1, то V 1 L, N G (A 1 ) F, и значит, E 1 U. Пусть K = L R 1. Тогда K N R1 (U 1 ), r, откуда K A 4. Предположим, что K R 1. Если x R 1 \ K, то K K x = L L x R 1. Поскольку L x L, то K K x не содержит инволюции для любого x R 1 \ K и, следовательно, K сильно вложена в R 1. Это невозможно, поэтому R 1 L. Но тогда t U и R = C R (V ), t U. Лемма доказана. Лемма 25. Если v инволюция в группе L и F конечная подгруппа, содержащая Z, v, то F U. Доказательство. Без потери общности можно считать, что v A, F N( Z, v ). Пусть E = E(F ), R = R(F ) и A 1 = E V 1, где V 1 = A 1 R максимальная элементарная абелева подгруппа группы F. Если E = 2 m, то v L R, V 1 L, E = Z(N F (A 1 )) = Z(N G (A 1 )) = Z, и по лемме 24 F U.

10 Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями 1105 Если E < 2 m, то Z, v максимальная элементарная абелева подгруппа из F, Z R 1 и поэтому в Z есть инволюция, равная квадрату некоторого элемента из G. По лемме 18 это невозможно. Лемма доказана. Лемма 26. Пусть Z = E(A). Тогда N G (Z) = Z L. Доказательство. В силу леммы 22 достаточно доказать, что L N G (Z). Предположим противное. Пусть g N G (Z) \ N G (L). Тогда L g L не содержит инволюций. Значит, Z, u, u g конечная подгруппа, содержащая Z, u. По лемме 25 u g U, значит, u g L. Это противоречие завершает доказательство леммы. Лемма 27. L G, G = U. Доказательство. В противном случае существует g G такой, что u g U и u, u g конечная подгруппа, лежащая в F N( u, u g ). Пусть F = E R, где E = E(F ), R = R(F ) и A 1 максимальная абелева подгруппа группы F, содержащая u. Тогда A 1 C G (u) U, [N G (A 1 ), N G (A 1 )] = [N F (A 1 ), N F (A 1 )] F L и E = Z(N F (A 1 )) Z(N G (A 1 )) Z(U). По лемме 14 R L 2 (q), где q нечетно. Если q 11, то по лемме 1(a) F N G (A 1 ), C G (u) U, что противоречит выбору g. Поэтому q < 11 и, следовательно, R содержит инволюцию t, инвертирующую элемент r порядка 3 из N R (A 1 ). Понятно, что r L. Если q > 5, то инволюцию t можно выбрать в N R (A 1 ) и в R найдется элемент x порядка 4, для которого t = x 2. Поскольку t сопряжен с элементом из N R (A 1 ) L и t N R (A 1 ) U, по лемме 23 t L. Отсюда C G (t) N G (L) = U. Итак, q = 5 и t N R (A 1 ). По определению L в N L (A 1 ) содержится инволюция t 1, инвертирующая r. Очевидно, tt 1 нетривиальный элемент из C = C G (r). Покажем, что C C G (t) элементарная абелева 2-подгруппа. Предположим противное. Пусть x элемент из C(t) C, порядок которого больше двух. Тогда K = x, t, r конечная подгруппа, содержащаяся в некоторой подгруппе F из N(K), но в F таких подгрупп нет по лемме 1(f). По лемме 13 C G (t) C конечная подгруппа. Так как C t = C, по лемме 4 C t локально конечная группа. Покажем, что C коммутативна. В противном случае в C найдется конечная некоммутативная подгруппа C 0 и K = C 0, r, t также конечна. Так как K F N(K), это противоречит лемме 1(e). Итак, C коммутативна, поэтому C C G (Z) = U. Теперь tt 1 U, t U, и F N U (A 1 ), t U. Лемма доказана. Таким образом, в случае (a) заключение теоремы 1 справедливо. Группы, содержащие A 4 Пусть выполнены условия п. (б) теоремы 1. Предположим, что заключение теоремы неверно и G противоречащий пример. Среди элементов N выберем F с центром наибольшего порядка. Можно считать, что Z(F ) = 2 m и, в частности, F содержит элементарную абелеву 2-подгруппу порядка 2 m+2. Лемма 28. Силовские 2-подгруппы любой подгруппы группы G сопряжены и являются элементарными абелевыми группами. Централизатор любой

11 1106 Д. В. Лыткина подгруппы порядка 2 m+2 в G является 2-группой. В частности, порядок пересечения любых двух различных силовских 2-подгрупп не превосходит 2 m+1. Доказательство. По уже доказанному п. (а) теоремы 1 в G нет элементов порядка 4, поэтому любая 2-подгруппа из G элементарна. Если c элемент нечетного порядка из C G (A), где A любая подгруппа порядка 2 m+2 из G, то A, c содержится в элементе множества N и поэтому c = 1. Если H подгруппа из G, S, S 1 ее различные силовские подгруппы, то S S 1 2 m+1 и по лемме 6 S и S 1 сопряжены в H. Лемма доказана. Лемма 29. Если B подгруппа порядка 2 m+1 из G, то C = C G (B)/B является либо 2-группой, либо расширением локально циклической группы без инволюций посредством группы порядка 2. Доказательство. По лемме 28 централизатор любой инволюции в C элементарная абелева группа. По [5] для C есть только три возможности: (а) C L 2 (Q) для некоторого локально конечного поля Q характеристики 2, (b) C обладает нормальной силовской 2-подгруппой, (c) C расширение абелевой группы без инволюций посредством группы порядка 2. Если реализуется (a), то пусть H полный прообраз в G подгруппы из C, изоморфной L 2 (q), где q = 2 s для некоторого s. Несложно убедиться в том, что H не вложима ни в один элемент из N. Если выполнен случай (b) и в C есть нетривиальный элемент r нечетного порядка, то r нормализует, но не централизует некоторую нетривиальную 2- подгруппу T. Теперь полный прообраз T, r в G является конечной группой, лежащей в некотором элементе из N, однако в прямом произведении L 2 (q) на элементарную 2-группу групп такого типа нет. Подобным же образом доказывается, что в случае, когда C расширение абелевой группы посредством группы порядка 2, эта абелева группа не может содержать конечных нециклических подгрупп. Лемма доказана. В леммах предполагается, что централизатор любой подгруппы порядка 2 m+1 является 2-группой. Лемма 30. В G существует нетривиальная подгруппа A порядка 2 m 2, централизатор которой в G равен A R, где R L 2 (P ) для некоторого локально конечного поля P характеристики 2 и, в частности, m 1. Если B произвольная 2-подгруппа порядка 2 m из G, то либо C G (B) = B L, где L L 2 (Q) для некоторого локально конечного поля Q характеристики 2, либо C G (B) является 2-группой. Доказательство. Если m = 0, то централизатор любой инволюции из G элементарная абелева группа. Поскольку силовская 2-подгруппа группы G не инвариантна в G и ее порядок не равен двум, согласно [5] G L 2 (Q) для некоторого локально конечного поля Q характеристики 2, т. е. G не противоречит заключению теоремы. Поэтому m 1 и существует подгруппа A порядка 2 m, централизатор которой в G не является 2-группой. Пусть H = C G (A). Предположим вначале, что в H силовская 2-подгруппа не инвариантна. Так как в H есть элементарная подгруппа порядка 2 m+2, ввиду [5] H/A L 2 (Q) для некоторого локально конечного поля Q характеристики 2. Покажем, что A прямой сомножитель в H, т. е. A тривиально пересекается с коммутантом H. Предположим противное. Тогда Q бесконечно и, следовательно, бесконечна силовская 2-подгруппа из H. Далее, t = [x 1, x 2 ]. [x 2s 1, x 2s ] для

12 Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями 1107 нетривиального элемента t из A и некоторых x 1. x 2s H. Пусть D 2-подгруппа порядка 2 m+3 из H. Так как H локально конечна, M = x 1. x 2s, D конечная подгруппа из H, лежащая по условию в подгруппе K = E T, где E 2 m, а L L 2 (q) для некоторого q. Поскольку в H есть подгруппа порядка 2 m+3, то q = 2 r 8. Так как t принадлежит коммутанту F, то t E и C K (t) элементарная абелева группа, откуда M элементарная абелева группа, что невозможно. Если для подгруппы B порядка 2 m в C G (B) силовская 2-подгруппа нормальна и в C G (B) есть нетривиальный элемент c нечетного порядка, то в C G (B) найдется конечная подгруппа F, содержащая c и B, порядок которой делится на 2 m+1. Если F E R N, где E 2 m, а R L 2 (q), то, очевидно, B E и в C G (B) силовская 2-подгруппа не инвариантна. Это противоречие показывает, что C G (B) является 2-группой. По условию теоремы найдется подгруппа A порядка 2 m, централизатор которой не является 2-группой. Лемма доказана. Пусть A подгруппа порядка 2 m из G, централизатор которой равен A R, где R L 2 (P ) для некоторого локально конечного поля P характеристики 2. Существование такой A гарантировано леммой 30. Пусть S силовская 2-подгруппа из C G (A). Тогда S силовская 2- подгруппа в G и N 0 = N G (S) C G (A) = A U, где U изоморфна аффинной группе поля P, т. е. полупрямому произведению аддитивной группы P + поля P на его мультипликативную группу P, действующую на P + умножением в поле P. В частности, все инволюции из V = U S сопряжены в U. Пусть N = N G (S). Лемма 31. Любая конечная подгруппа из N/S является циклической. Доказательство. Пусть S K N и K/S конечная группа. Тогда K : S нечетное число и в силу локальной конечности K существует подгруппа K 1 K, для которой SK 1 = K и K S = 1. Если S 1 конечная подгруппа порядка 8 из S, то F = K 1, S 1 конечная подгруппа с нормальной силовской 2-подгруппой порядка, не меньшего 8, содержащаяся в некотором элементе из N, поэтому K 1, а следовательно, и K/S циклические группы. Лемма доказана. Лемма 32. N 0 = N. Доказательство. По условию G содержит подгруппу K, изоморфную A 4. Пусть V = O 2 (K). Можно считать, что V S. По лемме 7 N содержит элемент r порядка 3. Поскольку централизатор любой подгруппы порядка 2 m+1 из S является 2-группой, C S (r) конечная группа. Пусть n N и H = r, r n. По [6] H индуцирует при сопряжении в S конечную группу автоморфизмов. Так как C G (S) = S, по лемме 31 H = r S. Отсюда следует, что rs N/S. Так как в N/S нет элементов четного порядка, то rs лежит в центре N/S. Поэтому rs нормализует в S подгруппу A = C S (U). Покажем, что N G (A) = C G (A). Действительно, поскольку A конечна, а C G (A) локально конечна, N G (A) локально конечная подгруппа. Если теперь n N G (A) \ C G (A), x нетривиальный элемент нечетного порядка из U, S 0 подгруппа порядка 8 из U, то A S 0, n, x конечная подгруппа, лежащая в некотором элементе из N, где ей нет места. В частности, r централизует A, поэтому C S (r) = A. Так как rs лежит в центре N/S, то A N(S). Тем самым N(S) N G (A) = C G (A). Лемма доказана.

13 1108 Д. В. Лыткина Лемма 33. Подгруппа A лежит в центре G. Доказательство. Предположим противное. Тогда существуют a A и g G, для которых a g a. Если [a g, a] = 1, то a g, a содержится в некоторой силовской 2-подгруппе T из G. По лемме 28 T = S h для некоторого h G. Поскольку a T, то a h 1 S. По леммам 7 и 32 a и a h 1 сопряжены в N G (S) C G (A). Поэтому a = a h. Так как a gh 1, a h 1 S, то a = a h 1 сопряжен с a gh 1 в N G (S) и снова a gh 1 = a = a h 1, откуда a g = a вопреки выбору g. Поэтому a g, a неабелева. Будучи конечной подгруппой, она содержится в F N. Пусть F = E L, где E элементарная абелева группа, а L L 2 (q) для некоторого q. Пусть S 0 силовская 2-подгруппа из F, содержащая a. Очевидно, E S 0 и a E. Это означает, в частности, что в N F (S 0 ) есть элемент h, для которого a h a. Поскольку [a h, a] = 1, мы возвращаемся к ситуации, рассмотренной в предыдущем абзаце. Лемма доказана. Лемма 34. В G существует подгруппа B порядка 2 m+1, для которой C G (B) расширение нетривиальной локально циклической группы B посредством группы порядка 2. В частности, силовская 2-подгруппа S из G элементарная абелева группа порядка 2 m+2, нормализующая, но не централизующая некоторую локально циклическую подгруппу C без инволюций. Доказательство. Если централизатор любой подгруппы порядка 2 m+1 является 2- группой, то по леммам 30 и 33 G не противоречит заключению теоремы. Поэтому в G существует подгруппа B порядка 2 m+1, для которой C G (B) не является 2-группой. По лемме 29 B удовлетворяет заключению леммы. Зафиксируем B, S и C до конца доказательства теоремы и определим F как множество всех элементов из N(S), содержащих нетривиальный элемент из C. Очевидно, F непусто. Лемма 35. N G (S) = E A, где E элементарная абелева группа порядка 2 m, A A 4, и для любого элемента H множества N справедливо R(H) L 2 (q), где q 5 нечетно. При этом все элементы из S, сопряженные в G с элементами из E(H), содержатся в E, а все элементы из S, сопряженные с инволюциями из R(H), содержатся в A. Доказательство. Очевидно, N F (S) E A 4, где E элементарная абелева группа порядка 2 m для любой F F. Так как C G (S) = S, то N G (S) конечная группа, содержащаяся в некоторой подгруппе H N. Поскольку N G (S) = N H (S) содержит N F (S), определение N показывает, что N G (S) = N F (S). Если теперь в N содержится подгруппа K, изоморфная L 2 (q), где q = 2 r > 4, то K содержит подгруппу S 1, сопряженную с S, и N K (S 1 ) не изоморфна подгруппе группы E A 4, где E 2 m. Остальные утверждения леммы вытекают из леммы 7. Лемма 36. Если F, F 1 F и C F1 (B) делит C F (B), то F 1 F. Доказательство. Пусть C F1 (B) делит C F (B). Тогда C F1 (B) C C F (B) C и поэтому C F1 (B) C F (B). Так как по лемме 35 N G (S) = N F (S) = N F1 (S), по лемме 1 F 1 = N G (S), C F1 (B) N G (S), C F (B) = F. Лемма доказана. Следующая лемма доказывается так же, как лемма 22.

14 Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями 1109 Лемма 37. Пусть U = F F F. Тогда U = Z L, где L L 2 (Q), Q локально конечное поле нечетной характеристики, централизатор каждой инволюции из L содержится в U и Z 2 m. Зафиксируем обозначения из леммы 37 до конца доказательства теоремы. Лемма 38. Z = C G (L). Доказательство. Пусть C G (L) = Y. Если найдутся две неперестановочные инволюции v, w Y, то группа v, w (N G (S) L) не вложима ни в один элемент из N, поэтому силовская 2-подгруппа из Y нормальна в Y и Y N G (S) U, откуда Y = Z. Лемма доказана. Лемма 39. Если U L g, где g G, содержит инволюцию v g, то L g = L. Доказательство. Так как все силовские 2-подгруппы из L сопряжены в L, для доказательства можно считать, что v, v g S. Но тогда v и v g сопряжены в N G (S) U, откуда v g L. Лемма 40. Если F N(S), то F U. Доказательство. Пусть F = E R, где E элементарная 2-группа, а R L 2 (q) для некоторого q. По лемме 35 q нечетно и N G (S) = N G (F ) E A 4. Если централизатор инволюции из R в F не является 2-группой, то F F и поэтому F U. Отсюда следует, что q = 5. Пусть r элемент порядка 3 из N F (S) и t инволюция из F, инвертирующая r. Если t L, то F = N F (S), t L. Пусть t L. Очевидно, в L есть инволюция v, инвертирующая r, и x = tv C G (r). Пусть C 0 = C G (r) C G (v). Предположим, что в C 0 есть нетривиальный элемент x нечетного порядка. Тогда K = x, v, r конечная подгруппа, содержащаяся в некотором элементе из N, но в N нет элементов, содержащих подгруппу, изоморфную K. Поэтому C 0 элементарная абелева 2-группа и, в частности, она конечна. По лемме 4 C G (r) v локально конечна. Заметим, что C G (r) коммутативна, иначе в C G (r) есть конечная некоммутативная v-инвариантная подгруппа K и подгруппа K, c, v не может содержаться ни в одном элементе из N вопреки условию. Отсюда следует, что Z C G (r). Поскольку K = t, Z, v, r конечная подгруппа из C G (r) v, она содержится в некотором элементе H множества N. Пусть H = E(H) F (H), S 1 силовская 2-подгруппа из H, содержащая v, и S 2 содержащая S 1 силовская 2-подгруппа из G. По лемме 35 N G (S 2 ) : N H (S 1 ) 2, поэтому v F (H) и, следовательно, Z E(H), т. е. S 1 = S 2, откуда вытекает, что H U g, где S g = S 2, а t, v L g. По лемме 38 L g = L, т. е. t L. Полученное противоречие доказывает лемму. Лемма 41. Z Z(G). Доказательство. Предположим противное. Пусть z Z, g G и z g z. Если [z, z g ] = 1, то z, z g содержится в некоторой силовской 2-подгруппе T из G. По лемме 6 T = S h для некоторого h G и z h 1 S. По леммам 7 и 35 z и z h 1 сопряжены в N G (S) C G (Z). Поэтому z = z h. Так как z gh 1, z h 1 S, то z = z h 1 сопряжен с z gh 1 в N G (S) C G (Z), т. е. z gh 1 = z = z h 1, откуда z g = z вопреки выбору. Поэтому z g, z неабелева. Будучи конечной подгруппой, она содержится в F N. Пусть F = E K, где E элементарная абелева группа, а L L 2 (q) для некоторого q. Пусть S 0 силовская 2-подгруппа из F, содержащая z.

15 1110 Д. В. Лыткина Очевидно, E S 0 и z E. Это означает, в частности, что в N F (S 0 ) есть элемент h, для которого z h z. Поскольку [z h, z] = 1, мы возвращаемся к невозможному случаю, рассмотренному в предыдущем абзаце. Лемма 42. Если v инволюция из L и F конечная подгруппа, содержащая Z, v, то F U. Доказательство. Без потери общности можно считать, что v A и F N( Z, v ). По лемме 41 F = Z R, где R L 2 (q) для некоторого нечетного числа q. По лемме 35 v R. По лемме 39 R L и поэтому F N(S). По лемме 40 F U. Лемма 43. L G, G = U. Доказательство. Предположим, что L не инвариантна в G. По лемме 39 найдутся g G и инволюция v L такие, что v g U. По лемме 41 подгруппа Z, v, v g конечна. По лемме 42 v g U; противоречие. Если h G, v инволюция из L, то по лемме 41 и в силу локальной конечности L подгруппа Z, v, h конечна. По лемме 42 h U. Лемма доказана. Вместе с ней доказана и теорема 1. Группы типа (P ) Предположим, что группа G удовлетворяет условиям теоремы 2, но не ее заключению. Лемма 44. Силовские 2-подгруппы из G элементарные абелевы и каждый элемент N изоморфен E L 2 (2 n ), где E 2 и n 3. Доказательство вытекает из теоремы 1. Выберем H N так, чтобы порядок Z(H) был наибольшим. Лемма 45. Z(H) = t, где t инволюция и C G (t) = t L, где L L 2 (Q) для локально конечного поля Q характеристики 2. Доказательство. Из выбора H и леммы 44 следует, что в группе C = C G (Z(H))/Z(H) централизатор любой инволюции является элементарной абелевой 2-группой. По [5] C L 2 (Q), где Q локально конечное поле характеристики 2. Если Z(H) = 1, то G C и вопреки выбору G заключение теоремы 2 для нее выполнено. Поэтому Z(H) = 2 и Z(H) порождается некоторой инволюцией t. Оставшееся утверждение леммы доказывается так же, как лемма 30. Пусть C = C G (t) и S силовская 2-подгруппа из C. Лемма 46. Если u инволюция из S, то либо C G (u) = S, либо C G (u) = u L u, где L u L 2 (Q u ) для некоторого локально конечного поля Q u характеристики 2. Доказательство. Если C G (u) 2-группа, то C G (u) = S. Если же в C G (u) есть элемент x нечетного порядка и x, u H 1 N, то по лемме 1 u Z(H 1 ), т. е. H 1 можно взять в качестве H, и утверждение вытекает из леммы 45. Лемма 47. Любая силовская 2-подгруппа из G сопряжена с S. Доказательство. Если T силовская 2-подгруппа из G и T S, то по лемме 1 T S 2. По лемме 6 все силовские 2-подгруппы в G сопряжены. Лемма доказана. Пусть N = N G (S), N 0 = N L и S 0 = N 0 S.

16 Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями 1111 Лемма 48. N C (S) = t N 0, и все инволюции из S 0 сопряжены в N 0. Доказательство вытекает из леммы 45. Лемма 49. Подгруппа S бесконечна, и N N 0. Доказательство. Предположим, что N = N 0. По выбору G из леммы 45 вытекает, что C G и, следовательно, в G есть элемент g, для которого t g t. Пусть t g, t K N, T 0 силовская 2-подгруппа из K, содержащая t, и T силовская 2-подгруппа из G, содержащая T 0. Из леммы 45 вытекает, что t не содержится в Z(N G (T )). С другой стороны, по лемме 47 существует h G, для которого T h = S. По лемме 7 t h и t сопряжены в N G (S) C, поэтому t h = t, т. е. h C G (t), T C G (t), тем самым t Z(N G (T )). Полученное противоречие показывает, что N N 0. Если теперь S конечна, то N конечная подгруппа, содержащаяся в некоторой подгруппе из N, что невозможно, поскольку N N 0 и N 0 не является 2-группой. Лемма доказана. Лемма 50. Все инволюции из G сопряжены. Доказательство. Так как t N, то t сопряжен с некоторой инволюцией из S \ t. Пусть a инволюция из S 0. Поскольку N 0 N и N 0 действует транзитивно на множестве инволюций из S 0, то в N найдется нетривиальный элемент нечетного порядка, централизующий a. По лемме 46 C G (a) = a L a, где L a L 2 (Q a ) для некоторого локально конечного поля Q a характеристики 2. Пусть S 1 = S L a. Так как S 0 и S 1 подгруппы индекса 2 в S и S 0 S 1, то S 1 \S 0 содержит по лемме 49 бесконечно много элементов и поэтому (S 1 \S 0 ) S 0 t содержит хотя бы один элемент, отличный от t. Поскольку все инволюции из S 0 сопряжены в N 0 N, все инволюции из S 1 сопряжены в N и все отличные от t инволюции из S 0 t сопряжены в N, все инволюции из S между собой сопряжены в N. Так как по лемме 47 все силовские 2-подгруппы из G сопряжены, лемма доказана. Лемма 51. G простая не локально конечная группа. Доказательство. Предположим, что G не является простой и M ее собственная нетривиальная нормальная подгруппа. Предположим, что M содержит инволюцию. По лемме 50 M содержит все инволюции и, в частности, содержит силовскую 2-подгруппу S. Так же, как в лемме 47, доказывается, что все силовские 2-подгруппы из M сопряжены в M. По замечанию Фраттини G = MN G (S). Если c элемент из N G (S) и t инволюция из S, то c, t конечная подгруппа, содержащаяся в некоторой подгруппе K N. Так как K порождается инволюциями, то K M, откуда c M и N G (S) M, т. е. G = M. Поэтому в M нет инволюций. Пусть t инволюция из G, 1 x M. Если xt = tx, то x C G (t) M C G (t). Так как по леммам 50 и 45 любая нетривиальная нормальная подгруппа из C G (t) порождается инволюциями, этот случай невозможен, t действует на M при сопряжении без неподвижных точек и поэтому y = xtx 1 1. Поскольку yt = y 1, то t, y конечная подгруппа, содержащаяся в K N и y K N K. Так как любая нормальная подгруппа из K порождается инволюциями, K N содержит инволюцию; противоречие. Итак, G проста.

17 1112 Д. В. Лыткина Предположим, что G локально конечна. Пусть g N и t g t. Пусть, далее, h нетривиальный элемент нечетного порядка из C N (t). Тогда t, g, h конечная подгруппа, содержащаяся в некоторой подгруппе K из N. Очевидно, t Z(K), и по лемме 45 C K (t) 2-группа, что противоречит выбору h. Лемма и вместе с ней теорема 2 доказаны. Вопрос о существовании не локально конечных групп, удовлетворяющих условиям теоремы 2, остается открытым. ЛИТЕРАТУРА 1. Лыткина Д. В. Периодические группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых групп // Сиб. мат. журн Т. 52, 2. С Huppert B. Endliche Gruppen. I. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl., Боровик А. В. Вложения конечных групп Шевалле и периодические линейные группы // Сиб. мат. журн Т. 24, 6. С Шунков В. П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика Т. 11, 4. С Мазуров В. Д. О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций // Алгебра и логика Т. 39, 1. С Лыткина Д. В., Мазуров В. Д. О периодических группах, порожденных парой почти квадратичных автоморфизмов абелевой группы // Сиб. мат. журн Т. 51, 3. С Статья поступила 25 марта 2011 г. Лыткина Дарья Викторовна Cибирский гос. университет телекоммуникаций и информатики, ул. Кирова, 86, Новосибирск ; Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск