Алгебраические свойства групп бесконечных матриц Холубовски Вальдемар Марек
Холубовски Вальдемар Марек. Алгебраические свойства групп бесконечных матриц : диссертация . доктора физико-математических наук : 01.01.06 / Холубовски Вальдемар Марек; [Место защиты: ГОУВПО "Санкт-Петербургский государственный университет"]. - Санкт-Петербург, 2008. - 136 с.
Содержание к диссертации
Глава I. Группы бесконечных матриц 33
1. Кольцо бесконечных матриц 33
2. Группы бесконечных матриц 40
3. Элементарные группы 43
4. Рост функций 47
5. Подгруппы определенные ростами 54
6. Порождение стрингами 57
Глава II. Классы промежуточных подгрупп 70
7. Сети и сетевые подгруппы 70
8. Подгруппы содержащие клеточно-диагональные матрицы 73
9. Подгруппы группы треугольных матриц 77
10. Подгруппы группы Маклейна 81
11. Группа Вершика—Керова 86
12. Группы состоящие из стрингов 89
Глава III. Свободные подгруппы унитреугольных групп 93
13. Примеры свободных подгрупп 93
14. Применение к аппроксимационным свойствам 98
15. Почти все подгруппы свободны 99
16. Почти все подполугруппы свободны 103
Глава IV. Применения 106
17. Автоморфизмы свободных групп счетного ранга 106
18. Автоморфизмы корневого дерева счетной валентности 115
19. Применения к алгебрам 119
Список литературы 124
Введение к работе
Бесконечные матрицы встречаются в разных разделах математики. Систематическое изучение началось в теории суммирования расходящихся последовательностей и рядов, в квантовой механике и теории решения бесконечных систем линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных.
В теории рядов рассматриваются преобразования последовательностей типа (zn ) -(z'n ) = ( 2 и п;|?гг+1 для всех г Є N. Если = (щ, по,...), то ^-гомогенной полной линейной группой называем прямой предел индуктивной системы (GL(n, R), 0) где п, т пробегают только значения из последовательности . Этот прямой предел будем обозначать GL(, R) или GL(). С каждой последовательностью можем связать супернатуральное число s() следующим образом: s() = 2 Sl -3 S2 . где Si равно наибольшей степени числа pi, делящей все щ или Sj = оо, если такое число не существует. Оказывается, что прямые пределы однозначно определены числами s(). Разным супернатуральным числам отвечают неизоморфные пределы. Это легко следует из рассуждений работы [121].
Все -моногенные группы в GL*(R) составляют решетку, изоморфную решетке супернатуральных чисел.
Решетка -моногенных групп полная, дистрибутивная, имеет наименьший и наибольший элемент.
Мы описываем нормальные подгруппы и подгруппы, содержащие диагональные матрицы в группе GL*(R) и группе GL(), используя соответсвующие элементарные группы и конгруэнцподгруппы.
Ill глава посвящена свободным подгруппам бесконечных унитреугольных групп. Известно, что конечномерные унптреугольные группы нильпотентны, а стабильная унитреугольная группа локально нпльпотентна, тем самым они не содержат свободной подгруппы. Оказывается, что уже группа унитреугольных матриц содержит свободные подгруппы и их много, в точно определенном смысле.
В 13 построено представление свободной группы ранга 2 бесконечными унит-реугольными матрицами над кольцом целых чисел и кольцом вычетов по модулю р (р > 2). Это представление простое, а доказательства элементарны.
Во многих работах рассматривается ситуация, когда gp(a, b), подгруппа группы G порожденная элементами a, Ь, является свободной группой ранга 2. Обычно, G является группой конечномерных матриц [30], [81], перестановок счетного множества [76] или преобразований эвклидова пространства [167].
Простоіі пример (с простым доказательством) двух элементарных трансвекций Т12 (2), Т2 і(2) порождающих свободную подгруппу был приведен Сановым [30]. Если An В порождают свободную подгруппу в группе GL(n, Z), то используя диагональное вложение вида diag (А, її, її. .) или diag (А, А, А. .) мы получим изоморфные копии свободных групп в группе бесконечномерных матриц (/„ обозначает п х п единичную матрицу). Наши примеры свободных групп ранга 2 являются подгруппами группы UT(oo,Z), группы всех верхних бесконечных унитреугольных матриц над Z и не могут быть получены с использованием диагональных вложений. Все группы UT(A;, Z) (к Є N) являются нильпотентными и не содержат свободной нециклической подгруппы. Таким образом, наши примеры являются самыми простейшими для унит-реугольной группы. Отметим, что группа UT(oo, Z) является пронильпотентной как обратный предел групп UT(&, Z).
На самом деле, мы покажем больше. Бесконечная верхняя унитреугольная матрица A = (atJ ) называется т—квазидиагоналъной, если а^ = 0 для j > г + т и a k,k+7n Ф 0 для некоторого к. Матрица А называется квазидиагональной, если она т—квазидиагональной для некоторого т. Символом UTb (oo, Z) обозначим подгруппу группы UT(oo,Z), состоящую из всех матриц А таких, что А и Л -1 являются квазидиагональными. Символом Ащ обозначим подматрицу матрицы А, которую получаем выбрасыванием первых s строк и первых s столбцов матрицы А. Положим res(A) = . Множество UTleb (oo,Z) = \]Т(оо,р) — канонический гомоморфизм по модулю р унитреугольной группы 2, группа иТб(оо,р) П UTres (oo,p) содержит свободную подгруппу ранга 2.
Отметим, что свободные подгруппы группы UT(oo, q) были построены на языке конечных автоматов в работе Алешина [2] для q — 2 (доказательство там неполное), в работе Бруннера и Сидки [55] для q = 2" (п > 2) и в работе Олийныка [25] для q = 2,3. Работа Олийныка и Сущанского [27] содержит первый пример двух бесконечных матриц, которые порождают свободную подгруппу в иТб(оо, 2) П UTres (oo, 2).
Наше представление свободной группы имеет техническое преимущество в отношении к представлениям свободной группы поворотами трехмерного пространства (Хаусдорф) [167], формальными рядами (Магнус) [132] или квадратными матрицами степени 2 (Санов) [30]. Используя это представление в 14 мы даем совсем простые доказательства аппроксимируемости свободных групп нильпотентными группами (теорема 20 — Магнус) и конечными р-группами (теорема 21 — Ивасава).
Напомним, что группа G аппроксимируется группами со свойством Р, если для каждого элемента g Є G, g ^ 1, существует нормальная подгруппа Ng группы G, не содержащая g и такая, что факторгруппа G/Ng обладает свойством Р. Иначе говоря, G аппроксимируется группами со свойством Р, если все нормальные подгруппы, чьи факторгруппы обладают свойством Р, пересекаются по единице.
Мы даем тоже простое доказательство того факта, что коммутант 2—порожденной свободной группы является счетно порожденной свободной группой (теорема 19 — Леви).
В 15 доказывается, что почти все /^-порожденные подгруппы группы бесконечных унитреугольных матриц над конечным полем являются свободными группами ранга к.
Пусть G = UT(c*o,/; s ) — группа всех бесконечных (индексированных множеством N) верхних унитреугольных матриц над конечным полем порядка p s (р - простое число). Множество JVm всех матриц а из G таких, что первые т столбцов а такие,
как у единичной матрицы с, составляет нормальную подгруппу группы G. Ясно, что \G : Nm \
\JT(m,p s ) [171], [146]. Проконечная топология индуцирует метрику d(x,y), относительно которой группа G является полным метрическим пространством. То же самое верно и для группы G k — G х . xG, если рассматривать произведение метрик d(x,y). Если х Є G fc , то символом (х) обозначим подгруппу группы G, порожденную всеми координатами элемента х. Положим
Подмножество метрического пространства называется нигде не плотным, если его дополнение содержит открытое, плотное подмножество. Сумма счетного семейства нигде не плотных множеств называется множеством первой категории (в смысле Бэра). Теорема Бэра утверждает, что в полном метрическом пространстве дополнение множества первой категории является плотным множеством. Это значит, что в таком пространстве множества первой категории маленькие, например, все пространство не может быть представлено в виде суммы счетного семейства множеств первой категории.
В работе [81] Эпстейи показал, что почти все &—порожденные подгруппы связной, неразрешимой, конечномерной группы Ли являются свободными группами ранга к, здесь выражение почти все интерпретируется используя натуральную меру Хаара на группе. В работе [76] Диксон показал, что почти все А;—порожденные подгруппы в группе подстановок счетного множества являются свободными группами ранга к в натуральной топологии, определенной на группе подстановок. Батачаржи получила аналогичные результаты в [53] для обратных пределов сплетений нетривиальных групп. Мы доказываем
Теорема 22 Почти все к—порожденные подгруппы в группе G — UT(oo,p s ) являются свободными группами ранга к, в том смысле, что множество G k \F является мноэ/сеством первой категории в G k .
Эта теорема показывает принципиальное отличие строения бесконечномерной унитреугольной группы G — XJT(oo,p s ). Отметим, что конечномерная унитреуголь-ная группа UT(m,p s ) конечна, а стабильная унитреугольная группа UTw (p s ), как прямой предел конечных групп XJT(m,p s ) при натуральных вложениях, локально конечная, тем самым они не содержат никаких свободных нециклических подгрупп.
Группа UT(oo,p s ) содержит тоже много интересных несвободных подгрупп, например Нотпнгеймскую группу. Известно, что любая счетно порожденная профгруппа вложима в N [64], и тем самым в UT(oo,p s ). В частности, любая конечно порожденная резидуально конечная р-группа вложима в UT(oo,p s ).
Используя результат Гарсайда и Нанта, мы усиливаем наш результат, доказывая, что почти все счетно порожденные подгруппы группы G = UT(oo,p s ) являются свободными подгруппами счетного ранга, и группа G = UT(oo,p s ) содержит недискретную свободную подгруппу ранга два (следствие 8).
Наше доказательство Теоремы 22, в отличие от доказательств в работах [53], [76]-[86], использует конкретные примеры свободных подгрупп. Оно вытекает из существования в G конкретной счетной подгруппы, в которой много (обилие) свободных подгрупп. Именно
Теорема 23 Группа G = UT(oo.p s ) содержит счетную подгруппу Н такую, что пересечение Н к с любым открытым шаром в G k содержит свободную подгруппу ранга к, заданную конкретными порождающими.
В 16 доказываются аналогичные результаты для случая полугруппы бесконечных треугольных матриц.
Многие вопросы о существовании свободных подполугрупп в разных структурах пока не решены (все рассматриваемые нами свободные полугруппы некоммутативные). Л'Іакар-Лиманов спросил в [134] когда мультипликативная группа тела содержит свободную подполугруппу. Клейн поставил такой вопрос для области целостности [119] (смотри также [65] для частичного ответа и ссылок). Если данная полугруппа S имеет свободную подполугруппу, то S не удовлетворяет никакому полугрупповому тождеству. Вопрос, верно ли обратно, пока открыт. В работе [142] Окнннски и Сальва получили положительный ответ в случае линейной полугруппы над конечно порожденным полем.
Ввиду этих результатов, интересно исследовать свойства множества свободных подполугрупп данной полугруппы. Олийнык показал в [26], что почти все конечно порожденные подполугруппы полугруппы автоматных преобразований являются свободными. Мы покажем сейчас, что в точно определенном смысле, почти все /„'—порожденные подполугруппы мультипликативной полугруппы бесконечных верхнетреугольных матриц над конечным полем F являются свободными полугруппами ранга к. Этот результат интересен, так как конечномерные полугруппы верхних треугольных матриц над конечным полем конечны, а их прямый предел при естественных вложениях локально конечен. Это значит, что они не содержат свободных подполугрупп.
Главным результатом является
Теорема 24 Почти все к—порооюденные подполугруппы полугруппы S — Т(оо,/У) являются свободными полугруппалш ранга к, иначе говоря, множество S k \ F является мноэ/сеством первой категории в S k .
В IV главе мы применяем аналоги понятий, введенных в предыдущих разделах к исследованию других "счетномерных"алгебрапческих структур, а именно группы автоморфизмов свободной группы счетного ранга, группы автоморфизмов корневого дерева счетной валентности, ассоциативной алгебры и алгебры Ли бесконечных матриц.
В 17 рассматриваются подгруппы автоморфизмов свободной группы счетного ранга. Группа автоморфизмов свободной группы конечного ранга была исследована во многих работах. Я. Нильсен в [141] получил ее представление, используя элементарные автоморфизмы, называемые теперь автоморфизмами Нильсена. Его метод инициировал систематические исследования в этой области. Красивый обзор полученных результатов можно найти в [132] и [126].
По сравнению с конечным случаем группа автоморфизмов Aut F^ свободной группы счетного ранга исследована слабо. Проблема классификации ее подгрупп очень трудная. Известны только некоторые ее естественные подгруппы и изолированные результаты. Группа Aut F^ очень большая, так как она содержит как подгруппу группу Sym(N) всех подстановок натуральных чисел. С другой стороны известно [77], что Sym(N) содержит свободную подгруппу ранга 2 N , мы получаем еще одну большую подгруппу.
Интересные свойства Aut F^ связаны со свойствами самой свободной группы F^ со свободными образующими х±,х2 . Например F^ обладает свойством кофинального базиса (basis cofinality property) [126], т. е. для любого а Є Aut Fx, и любого п Є N существуют г Є N и /З Є Aut((xy,. хГ )) такие, что г > п и 0(хі) = сх(хі) для і = 1. п (здесь (.г - . хг ) обозначает подгруппу порожденную Х\. хг ). Группа Foo имеет тоже свойство малого индекса the small index property, т. е. для любой подгруппы А индекса меньшего чем 2^ в группе Aut FTO существует конечное подмножество Y группы Fqq такое, что поточечный стабилизатор множества Y в Aut F^ содержится в Л (обратное утверждение очевидно). Из этого результата следует, что Aut Foo не является суммой (возрастающей последовательности) счетного множества собственных подгрупп [56].
Решетка подгрупп группы Aut F^ тоже исследована слабо. Известны естественные подгруппы содержащие внутренние, финитарные, ограниченные, триангуляр-
ные, подстановочные и диагональные автоморфизмы. Но даже для подгруппы ограниченных автоморфизмов не известна никакая подходящая система порождающих. Д. Солитар выдвинул гипотезу [G9], что эта группа порождается бесконечными элементарными одновременными (симультанными) автоморфизмами Нильсена, но эта гипотеза пока не доказана. Отметим, что в бесконечном случае обычные автоморфизмы Нильсена порождают только подгруппу Ant/inF^ содержащую только те автоморфизмы, которые действуют нетривиально только на конечном числе образующих [126].
В этом параграфе, основанном на совместной работе автора и Ч. К. Гупта [91], мы строим новые подгруппы Aut Fqo и описываем некоторые их свойства. Стандартное понятие ограниченности автоморфизма а Є Aut i^ состоит в существовании верхней грани п на длину всех редуцированных слов вида a(xi) и a
1 (xi). Мы рассматриваем ограниченность с совсем другой точки зрения. Мы требуем только, чтобы каждый свободный порождающий Xj, появляющийся в a(xi), находился вблизи Хі, в смысле, что |г — j\ не очень большое. Отметим, что сумма экспонент порождающей Xj в a(xi) может быть произвольной. Это очень отличается от понятия ограниченности введенного в [69]. Мы вводим понятие стринга, которое реализует наше понятие ограниченности. Стрингн являются аналогами бесконечных блочно-диагональных матриц с конечными блоками на главной диагонали. Специальный вид стрпнгов в группе верхнетреугольных автоморфизмов исследовался в [69]. Множество всех конечных произведений стрпнгов Ті является группой, называемой группой стрингов. Она играет важную роль в дальнейшем. Мы доказываем, что ТС содержит группу, порожденную подстановочными и верхнетреугольными автоморфизмами, и изучаем некоторые параболические подгруппы Ті. Мы описываем тоже большую решетку подгрупп Ті, связанных с ростами. Главный результат параграфа говорит, что Aut F^ порождается (по модулю /Л—автоморфизмов) стрингами и нижнетрез^ольными матрицами. В последней части параграфа получаются аналоги этих результатов для некоторых других многообразий. Наши результаты верны и для свободной группы несчетного ранга. При этом надо предположить, что семейство свободных порождающих вполне упорядочено. Это неудивительно, так как даже известная теорема Нильсена-Шрайера (подгруппа свободной группы свободна) требует такого упорядочения порождающих в случае бесконечного ранга (смотри [66], с. 89).
По аналогии с матричным случаем мы вводим понятие стринга. Пусть а автоморфизм Fqq следующего типа:
(1) существует разбиение множества порождающих такое, что Хі = и для всех j > 1 мы имеем
Xj = , где пі \, мы имеем а(хк ) Є /(1), и Tilt „.tik (n) = ти 1 ік (п) = п для всех п > f(k + 1). Если носитель подстановки т;, t „.t ik бесконечен, говорим, что подстановка т
и. ік ограничена через f(k + 1) = со.
Для любого роста и> множество всех г Є AutT^, таких, что все поерестановки тх /гп—ограничены некоторыми функциями /, f(n) +nw, является группой, обозначаемой через Gfiniui). Легко видеть, что Aut7"( N ) = G/n i(cJco) и имеем равенство
U2 AutT d > = G/m M.
Решетка подгрупп и ,є п. изоморфна решетке ростов iV (предложение 49). Для любого роста ш группа Gfin (u),сферически транзитивно действует на сферах (уровнях) деревья (предложение 50). Мы показываем тоже, что для наименьшего роста а>о, группа G/fn (u>o) порождается элементарными инволюциями (предложение 51).
Другое семейство называем автоморфизмами бесконечного типа. Мы говорим, что подстановка 7Г Є N ограничена функцией / Є 0,^,, если для всех чисел п мы имеем 7г(гг),7г _1 (п) 1 (n) T h. ik (n),rrlik (n) N ) : г ограничена некоторой f Є ш>
Очевидно, что Aut 7
( N ) = Gfaoo). Мы показываем, что решетка подгрупп we n* изоморфна решетке ростов Q* (предложение 52). Для любого роста и группа G(to) имеет тривиальный центр и любой её автоморфизм является внутренним (предложение 54). Кроме того, группа G(wq) порождается всеми элементами г такими, что тх является элементарной инволюцией для всех х из первого уровня дерева (предложение 53).
В 19, заключающем эту главу, описываются некоторые ассоциативные алгебры и алгебры Ли бесконечных матриц, связанные с ростами, и приведены результаты о порождении стрингамн. Доказывается, что алгебра строго верхних (нули ниже и на главной диагонали) конечнострочных бесконечных треугольных матриц порождается стрингамн (предложение 55), а ее подалгебра квазидиагональных матриц порождается нильпотентными элементами (предложение 56). Описываем результаты Ханнах и Омиры о ленточной размерности на языке введенного нами роста.
В заключительной части описываем многочисленные примеры алгебр с помощью роста и даем набросок возможных обобщений.
Группы бесконечных матриц
Бесконечные матрицы встречаются в разных разделах математики. Систематическое изучение началось в теории суммирования расходящихся последовательностей и рядов, в квантовой механике и теории решения бесконечных систем линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных.
Бурное развитие теории линейных пространств бесконечной размерности наступило в начале XX века. Основания были заложены главным образом исследованиями РІвара Фредгольма и Вито Вольтерры. Они рассматривали теорию линейных уравнений с бесконечным числом уравнений и неизвестных с использованием представления в виде предела линейных уравнений с конечным числом уравенений и неизвестных, когда число уравнений и неизвестных становится бесконечным. Это привело к развитию теории интегральных уравнений. С другой стороны, работы Давида Гильберта, Джона фон Неймана, Эрхарда Шмидта и Фригеса Риса по теории интегральных уравнений послужили толчком к развитию теории линейных пространств бесконечной размерности. Это и привело к созданию теории банаховых и гильбертовых пространств.
Алгебраические свойства бесконечных матриц и бесконечномерных линейных или классических групп исследуются во многих статьях и монографиях. Это делается с разных точек зрения, среди которых мы отметим теорию ассоциативных колец и модулей, алгебраическую /С-теорию, теорию алгебр Ли и алгебраических групп, теорию бесконечных групп, функциональный анализ (кольца операторов, спектральный анализ), элементарный анализ (теория функций, последовательности и ряды), теорию представлений, теорию моделей, бесконечную комбинаторику и теорию вероятностей. Бесконечные матрицы мы можем складывать как обычные матрицы. Специфика бесконечных матриц полностью выявляется при попытке умножать их. А именно, умножение бесконечных матриц не всегда определено. В анализе, где используются комплекснозначные и вещественнозначные бесконечные матрицы эту ситуацию преодолевают наложением на матрицы условий типа сходимости последовательностей коэффициентов в строках и столбцах. В алгебре рассматриваются матрицы с коэффициентами из произвольного ассоциативного кольца R с единицей, тем самым накладываются другие условия конечности, типа конечнострочности или конечно-столбцовости. Кроме того, умножение может быть определено, но бывает неассоциативным. В третьих, обратимость бесконечных матриц ведет себя странно, существуют, например, бесконечные матрицы имеющие бесконечное число обратных.
Алгебраический подход к изучению бесконечных матриц начался в 40-вых годах ХХ-того века с работ Р. Бэра, Н. Джекобсона, Дж. Маки, И. Амитцура и других. Сначала они изучали кольцо конечнострочных бесконечных матриц М? (оо, К) над кольцом r (кольцо эндоморфизмов левого свободного модуля) ii кольцо Мге(! R) конечнострочных и копечностолбцовых бесконечных матриц (кольцо непрерывных эндоморфизмов или кольцо эндоморфизмов with adjoint), которое появилось в исследовании счетномерных алгебр и других колец со свойствами конечности. Итоговая работа Н. Джекобсона о неприводимых модулях показала важность плотных подко-лец кольца Mr (со, і?), т. е. колец содержащих кольцо M(-R) - состоящее из матриц имеющих только конечное число ненулевых элементов. Такие кольца и называются кольцами бесконечных матриц. Для многих математиков кольца бесконечных матриц служат только примерами патологий в кольцах. В монографии [41] бесконечные матрицы появляются главным образом в качестве контрпримеров.
Подгруппы содержащие клеточно-диагональные матрицы
На первый взгляд бесконечные матрицы не имеют никакой обозреваемой структуры, возможно потому, что не удовлетворяют никаким условиям конечности (например, они никогда не являются односторонне нетеровскимп). На самом деле в работах многих математиков выявлена их богатая структура. Например, два унитальные кольца R и S Морита эквивалентны тогда и только тогда, когда M(R) — M(S ) -ФФ- Мьс(оо, R) — Мьс(о, S) Ф4 Mrc(co, R) Mrc(oo, S) -ФФ Mr(oo, R) — Mr(oo, S) (здесь Mbc(oo, R) обозначает кольцо всех матриц, у которых все ненулевые элементы только в конечном числе столбцов). Кольца Мг(со, R) и Мгс(со, 5") никогда неизоморфны, существуют кольца R, S такие, что R Мг(со. R) и S Мгс(о, S). Для групп Пикара имеем изоморфизмы Pic(R) Pic(M(R) Pic