А3 (базовый уровень, время – 1 мин)

Тема: Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера.

Что нужно знать:

перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления (см. презентацию «Системы счисления»)

Полезно помнить, что в двоичной системе:

четные числа оканчиваются на 0, нечетные – на 1;
числа, которые делятся на 4, оканчиваются на 00, и т.д.; числа, которые делятся на 2 k , оканчиваются на k нулей
если число N принадлежит интервалу 2 k-1 ? N < 2 k , в его двоичной записи будет всего k цифр, например, для числа 125:

2 6 = 64 ? 125 < 128 = 2 7 , 125 = 11111012 (7 цифр)

числа вида 2 k записываются в двоичной системе как единица и k нулей, например:

16 = 2 4 = 100002

числа вида 2 k -1 записываются в двоичной системе k единиц, например:

15 = 2 4 -1 = 11112

если известна двоичная запись числа N, то двоичную запись числа 2·N можно легко получить, приписав в конец ноль, например: 15 = 11112, 30 = 111102, 60 = 1111002, 120 = 11110002
- отрицательные целые числа хранятся в памяти в двоичном дополнительном коде (подробнее см. презентацию «Компьютер изнутри»)
- для перевода отрицательного числа (-a) в двоичный дополнительный код нужно сделать следующие операции:
  - перевести число a-1 в двоичную систему счисления
  - сделать инверсию битов: заменить все нули на единицы и единицы на нули в пределах разрядной сетки (см. пример далее)
  Пример задания:
  Дано: и . Какое из чисел с, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a < c < b?
  
  Общий подход:
  
  перевести все числа (и исходные данные, и ответы) в одну (любую!) систему счисления и сравнить.
  
  Решение (вариант 1, через десятичную систему):
  
  3) переводим в десятичную систему все ответы:
  
  110110012 = 217, 11011100 2= 220, 110101112 = 215, 110110002=216
  
  4) очевидно, что между числами 215 и 217 может быть только 216
  
  5) таким образом, верный ответ – 4 .
  
  Возможные проблемы:
  
  арифметические ошибки при переводе из других систем в десятичную.
  
  Решение (вариант 2, через двоичную систему):
  
  1) (каждая цифра шестнадцатеричной системы отдельно переводится в четыре двоичных – тетраду);
  
  2) (каждая цифра восьмеричной системы отдельно переводится в три двоичных – триаду, старшие нули можно не писать);
  
  3) теперь нужно сообразить, что между этими числами находится только двоичное число 110110002 – это ответ 4.
  
  Возможные проблемы:
  
  запись двоичных чисел однородна, содержит много одинаковых символов – нулей и единиц, поэтому легко запутаться и сделать ошибку.
  
  Решение (вариант 3, через восьмеричную систему):
  
  1) (сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на триады справа налево, каждую триаду перевели отдельно в десятичную систему, так как для чисел от 0 до 7 их восьмеричная запись совпадает с десятичной);
  
  2) , никуда переводить не нужно;
  
  3) переводим в восьмеричную систему все ответы:
  
  110110012 = 011 011 0012 = 3318 (разбили на триады справа налево, каждую триаду перевели отдельно в десятичную систему, как в п. 1)
  
  4) в восьмеричной системе между числами 3278 и 3318 может быть только 3308
  
  5) таким образом, верный ответ – 4 .
  
  Возможные проблемы:
  
  нужно помнить двоичную запись чисел от 0 до 7 (или переводить эти числа в двоичную систему при решении).
  
  Решение (вариант 4, через шестнадцатеричную систему):
  
  1) никуда переводить не нужно;
  
  2) (сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на тетрады справа налево, каждую тетраду перевели в шестнадцатеричную систему; при этом тетрады можно переводить из двоичной системы в десятичную, а затем заменить все числа, большие 9, на буквы – A, B, C, D, E, F);
  
  3) переводим в шестнадцатеричную систему все ответы:
  
  110110012 = 1101 10012 = D916 (разбили на тетрады справа налево, каждую тетраду перевели отдельно в десятичную систему, все числа, большие 9, заменили на буквы – A, B, C, D, E, F, как в п. 1)
  
  4) в шестнадцатеричной системе между числами D716 и D916 может быть только D816
  
  5) таким образом, верный ответ – 4 .
  
  Возможные проблемы:
  
  нужно помнить двоичную запись чисел от 0 до 15 (или переводить эти числа в двоичную систему при решении).
  
  Выводы:
  - есть несколько способов решения, «каждый выбирает для себя»;
  - наиболее сложные вычисления – при переводе всех чисел в десятичную систему, можно легко ошибиться;
  - сравнивать числа в двоичной системе сложно, также легко ошибиться;
  - видимо, в этой задаче наиболее простой вариант – использовать восьмеричную систему, нужно просто запомнить двоичные записи чисел от 0 до 7 и аккуратно все сделать;
  - в других задачах может быть так, что выгоднее переводить все в десятичную или шестнадцатеричную систему счисления.
  Еще пример задания:
  Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-78)?
  
  1) 3 2) 4 3) 5 4) 6
  
  Решение (вариант 1, классический):
  
  1) переводим число 78 в двоичную систему счисления:
  
  78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 2 6 + 2 3 + 2 2 + 2 1 = 10011102
  
  2) по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов
  
  3) чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:
  
  4) делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):
  
  5) добавляем к результату единицу
  
  это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде
  
  6) в записи этого числа 4 единицы
  
  7) таким образом, верный ответ – 2 .
  
  Возможные ловушки и проблемы:
  - нужно не забыть в конце добавить единицу, причем это может быть не так тривиально, если будут переносы в следующий разряд – тут тоже есть шанс ошибиться из-за невнимательности
  Решение (вариант 1, неклассический):
  
  1) переводим число 78 – 1=77 в двоичную систему счисления:
  
  77 = 64 + 8 + 4 + 2 = 2 6 + 2 3 + 2 2 + 2 0 = 10011012
  
  2) по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов
  📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎