Калькулятор онлайн. Калькулятор для решения комплексных чисел. Сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел. Вычислить n-ую степень и корень n-ой степени.

С помощью данного калькулятора вы можете сложить, вычесть, умножить, и разделить комплексные числа. Программа решения комплексных чисел не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс нахождения решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Комплексное число состоит из двух частей - действительной и мнимой. Первое поле ввода - для действительной части, второе - для мнимой. Для правильного ввода комплексного числа нужно ввести как минимум одну часть - действительную или мнимую.

Числа в действительную или мнимую части можно вводить целые или дробные. Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей. Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой. Например, можно вводить десятичные дроби так + i

Правила ввода обыкновенных дробей. В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: / Ввод: + i Результат: $ -\frac - \frac \cdot i $

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: & Ввод: + i Результат: $ -1\frac + 5\frac \cdot i $

Введите действительную и мнимую части чисел $ z_1 $ и $ z_2 $. У каждого числа нужно ввести как минимум одну часть - действительную или мнимую. Вычислить сумму, разность, произведение и частное

Немного теории.

Понятие комплексного числа

Определение. Комплексными числами называют выражения вида $а + bi$ где $a$ и $a$ — действительные числа, а $i$ — некоторый символ, для которого по определению выполняется равенство $ i^2=-1 $.

Название «комплексные» происходит от слова «составные» — по виду выражения $а + bi$. Число $а$ называется действительной частью комплексного числа $а + bi$, а число $b$ — его мнимой частью. Число $i$ называется мнимой единицей. Например, действительная часть комплексного числа $2-3i$ равна $2$, мнимая часть равна $-3$. Запись комплексного числа в виде $а + bi$ называют алгебраической формой комплексного числа.

Равенство комплексных чисел

Определение. Два комплексных числа $a + bi$ и $c + di$ называются равными тогда и только тогда, когда $a =c$ и $b =d$, т. е. когда равны их действительные и мнимые части.

Сложение и умножение комплексных чисел

Операции сложения и умножения двух комплексных чисел определяются следующим образом.

Определения. Суммой двух комплексных чисел $a+ bi$ и $c + di$ называется комплексное число $ (a+c) + (b+d)i $, т.е. $ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $.

Произведением двух комплексных чисел $a + bi$ и $c + di$ называется комплексное число $ (ac - bd) + (ad + bc)i $, т. е. $ (a + bi)(с + di) = (aс-bd) + (ad + bc)i $.

Из двух предыдущих формул следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами. Поэтому нет необходимости запоминать эти формулы, их можно получить по обычным правилам алгебры, считая, что $ i^2=-1 $.

Основные свойства сложения и умножения комплексных чисел

1. Переместительное свойство $ z_1 + z_2 = z_2 + z_1 $, $ z_1z_2 = z_2z_1 $

2. Сочетательное свойство $ (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) $, $ (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3) $

3. Распределительное свойство $ z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3 $

Комплексно сопряженные числа

Определение. Сопряженным с числом $z = a + bi$ называется комплексное число $a -bi$, которое обозначается $ \overline $, т. е. $ \overline = \overline = a-bi $

Например : $ \overline = 3-4i $, $ \overline = -2+5i $, $ \overline = -i $

Отметим, что $ \overline = a+bi $, поэтому для любого комплексного числа $z$ имеет место равенство $ \overline = z $ Равенство $ \overline = z $ справедливо тогда и только тогда, когда $z$ — действительное число.

Модуль комплексного числа

Определение. Модулем комплексного числа $z = a + bi$ называется число $ \sqrt $, т.е. $ |z|=|a+bi| = \sqrt $

Из данной формулы следует, что $ |z| \geqslant 0 $ для любого комплексного числа $z$, причем $|z|=0$ тогда и только тогда, когда $z=0$, т.е. когда $a=0$ и $b=0$.

Вычитание комплексных чисел

Определение. Комплексное число $ (-1)z $ называется противоположным комплексному числу $z$ и обозначается $-z$. Если $z = a + bi$, то $-z = -a - bi$ Например : $ -(3-5i) = -3+5i $ Для любого комплексного числа $z$ выполняется равенство $ z+(-z) = 0 $.

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ существует, и притом только одно, число $z$, такое, что $ z + z_2 = z_1 $, т.е. это уравнение имеет только один корень.

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел $ z_1 $ и $ z_2 \neq 0 $ существует, и притом только одно, число $ z $, такое, что $ z \cdot z_2=z_1 $ т.е. это уравнение относительно z имеет только один корень, который называется частным чисел $ z_1 $ и $ z_2 $ и обозначается $ z_1:z_2 $, или $ \frac $, т.е. $ z=z_1:z_2 = \frac $

Комплексное число нельзя делить на ноль.

Частное комплексных чисел $ z_1 $ и $ z_2 \neq 0 $ можно найти по формуле $$ \frac = \frac $$

Каждое комплексное число $z$, не равное нулю, имеет обратное ему число $w$, такое, что $z \cdot w = 1$, где $$ w= \frac = \frac-\fraci $$

Если $ z_1 = a_1 + b_1i \; , \; z_2 = a_2 + b_2i $, то формулу частного комплексных чисел можно представить в виде $$ \frac = \frac= \frac = \frac+ \fraci $$

Геометрическая интерпретация комплексного числа. Комплексная плоскость

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число $a + bi$ можно рассматривать как пару действительных чисел $(a; b)$. Поэтому естественно комплексные числа изображать точками плоскости.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число $z = a + bi$ изображается точкой плоскости с координатами $(a; b)$, и эта точка обозначается той же буквой $z$.

Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу $a + bi$ соответствует одна точка плоскости с координатами $(a; b)$ и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами $(a; b)$ соответствует одно комплексное число $a + bi$. Поэтому слова «комплексное число» и «точка плоскости» часто употребляются как синонимы. Так, вместо слов «точка, изображающая число $1 + i$» говорят «точка $1 + i$». Можно, например, сказать «треугольник с вершинами в точках $i, \; 1+i, \; -i $».

При такой интерпретации действительные числа $a$, т.е. комплексные числа $a+0i$, изображаются точками с координатами $(a; 0)$, т.е. точками оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью. Чисто мнимые числа $bi = 0+bi$ изображаются точками с координатами $(0; b)$, т.е. точками оси ординат, поэтому ось ординат называют мнимой осью. При этом точка с координатами $(0; b)$ обозначается $bi$. Например, точка $(0; 1)$ обозначается $i$, точка $(0; -1)$ — это $-i$ , точка $(0; 2)$ — это точка $2i$. Начало координат — это точка $O$. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Отметим, что точки $z$ и $-z$ симметричны относительно точки $O$ (начала координат), а точки $ z $ и $ \overline $ симметричны относительно действительной оси.

Комплексное число $z = a+bi$ можно изображать вектором с началом в точке $O$ и концом в точке $z$. Этот вектор будем обозначать той же буквой $z$, длина этого вектора равна $|z|$.

Число $ z_1 + z_2 $ изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов $ z_1 $ и $ z_2 $ а вектор $ z_1 - z_2 $ можно построить как сумму векторов $ z_1 $ и $ -z_2 $.

Геометрический смысл модуля комплексного числа

Выясним геометрический смысл модуля комплексного числа $|z|$. Пусть $z = a+bi$. Тогда по определению модуля $ |z|= \sqrt $. Это означает, что $|z|$ — расстояние от точки $O$ до точки $z$.

Например, равенство $|z| = 4$ означает, что расстояние от точки $O$ до точки $z$ равно $4$. Поэтому множество всех точек $z$, удовлетворяющих равенству $|z| = 4$, является окружностью с центром в точке $O$ радиуса $4$. Уравнение $|z| = R$ является уравнением окружности с центром в точке $O$ радиуса $R$, где $R$ — заданное положительное число.

Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел

Выясним геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел, т.е. $ |z_1-z_2| $. Пусть $ z_1 = a_1+b_1i, \; z_2 = a_2+b_2i $ Тогда $ |z_1-z_2| = |(a_1-a_2) + (b_1-b_2)i| = \sqrt $

Из курса геометрии известно, что это число равно расстоянию между точками с координатами $ (a_1;b_1) $ и $ (a_2;b_2) $.

Итак, $ |z_1-z_2| $ — расстояние между точками $ z_1 $ и $ z_2 $.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Аргумент комплексного числа

Определение Аргумент комплексного числа $ z \neq 0 $ — это угол $ \varphi $ между положительным направлением действительной оси и вектором $Oz$. Этот угол считается положительным, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательным при отсчете по часовой стрелке.

Связь между действительной и мнимой частями комплексного числа $z = a + bi$, его модулем $r=|z|$ и аргументом $ \varphi $ выражается следующими формулами: $ \left\< \begin a=r \cos \varphi \\ b=r \sin \varphi \end \qquad (1) \right. $

Аргумент комплексного числа $z = a+bi$ ( $ z \neq 0 $ ) можно найти, решив систему (2). Эта система имеет бесконечно много решений вида $ \varphi =\varphi_0+2k\pi $, где $ k\in\mathbb , \;\; \varphi_0 $ — одно из решений системы (1), т.е. аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.

Для нахождения аргумента комплексного числа $z = a+bi$ ( $ z\neq 0 $ ) можно воспользоваться формулой $ tg \varphi = \large \frac \normalsize \qquad (3) $

При решении уравнения (3) нужно учитывать, в какой четверти находится точка $z = a+bi$.

Запись комплексного числа в тригонометрической форме

Из равенства (1) следует, что любое комплексное число $z = a+bi$, где $ z\neq 0 $, представляется в виде $ z = r(\cos\varphi +i\sin\varphi ) \qquad (4) $ где $ r=|z|=\sqrt $ - модуль комплексного числа $z$, $ \varphi $ - его аргумент. Запись комплексного числа в виде (4), где $r>0$, называют тригонометрической формой комплексного числа $z$.

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме

С помощью тригонометрической формы записи комплексных чисел удобно находить произведение и частное комплексных чисел $z_1$ и $z_2$. Если два комплексных числа записаны в тригонометрической форме : $ z_1 = r_1(\cos\varphi_1 +i\sin\varphi_1), \quad z_2 = r_2(\cos\varphi_2 +i\sin\varphi_2) $ то произведение этих комплексных чисел можно найти по формуле: $ z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2) +i\sin(\varphi_1+\varphi_2)) $

Из этой формулы следует, что при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Формула для нахождения частного комплексных чисел: $$ \frac = \frac(\cos(\varphi_1-\varphi_2) +i\sin(\varphi_1-\varphi_2)) $$

Из этой формулы следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного.

Формула Муавра

Для любого $ n \in \mathbb $ справедлива формула $$ z^n = r^n(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = r^n(\cos (n\varphi) + i \sin (n\varphi) ) $$ которую называют формулой Муавра.
📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎